項目簡介：

本項目為數(shù)學(xué)研究,具體對象為算子代數(shù),根據(jù)Dirac和Neumann在物理微觀世界里的可觀察物,可由希爾伯特空間中的算子作為模型,這種算子系統(tǒng)構(gòu)成C*-代數(shù).類似于Heisenberg的不確定原則,一般來講C*-代數(shù)中有ab≠ba,即C*-代數(shù)一般不交換.正是由于其非交換性,使C*-代數(shù)在微分幾何.拓?fù)鋵W(xué).動力系統(tǒng).非交換幾何.數(shù)學(xué)物理等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.本研究項目的主要內(nèi)容是尋求一種簡單且可計算的不變量來確定C*-代數(shù)的結(jié)構(gòu),這是C*-代數(shù)長期以來研究的中心問題.

本項目最重要的成果可以簡單地概括成:(i)二個可分單核零跡秩的C*-代數(shù)同構(gòu)的充分必要條件為它們所對應(yīng)的有序K-群(保幺元)同構(gòu).(ii)任何這樣的C*-代數(shù)所對應(yīng)的有序K-群都是可數(shù)的弱無孔的單Riesz有序群.(iii)給定任何一個可數(shù)的弱無孔的單Riesz 群 一定有一個這樣的C*-代數(shù)使其對應(yīng)的K-群正好就是它.

本項目成果的特點是其分類定理具有一般性并且提供了應(yīng)用方法,大大推進(jìn)了C*-代數(shù)理論及其應(yīng)用的發(fā)展.主要發(fā)現(xiàn)點為:1首次提出了C*-代數(shù)上跡秩的概念.當(dāng)跡秩為零時,C*-代數(shù)傳統(tǒng)的實秩與穩(wěn)定秩同時為最小,且低跡秩C*-代數(shù)具有特殊的結(jié)構(gòu)使其包含了通常的穩(wěn)定有限單核C*-代數(shù);2發(fā)現(xiàn)了C*-代數(shù)的近似可乘映照的唯一性定理,用KK-理論在穩(wěn)定近似酉等價的意義下完全確定了C*-代數(shù)間的近似可乘映照;3創(chuàng)建了零跡秩單核C*-代數(shù)的同構(gòu)分類理論;4解決了Von Neumann-Halmos 幾乎交換自共軛矩陣問題.

本項目的主要定理在世界上最權(quán)威的Annual of Mathematics和Duke Mathematical J.上發(fā)表.本項目所發(fā)表的60篇論文和專著共被他引305次.數(shù)學(xué)評論員文章(Math. Review, Amer. Math. Soc.,MR1973053) (2004b:6089)描述道:"在這篇閃光的論文中,評論員驚奇地發(fā)現(xiàn)林完成了令人眩目的廣泛的分類定理....""關(guān)鍵概念始終是林發(fā)明的跡秩零....",林多次應(yīng)邀在國際會議上作報告:(98)歐盟算子代數(shù)大會上作主講,(99,02, 05)三次被邀在北美最重要的算子年會(GPOTS)作主講.組織了02年數(shù)學(xué)家大會算子代數(shù)會議.

主要發(fā)現(xiàn)點： 本項目主要發(fā)現(xiàn)點為:

1.首次提出了C*-代數(shù)上跡秩的概念,從而可用跡秩來進(jìn)一步認(rèn)識和區(qū)分C*代數(shù)的結(jié)構(gòu). (對應(yīng)學(xué)科:算子代數(shù),論文序號:2,4,6,8)

通過長期實驗后在C*-代數(shù)中引進(jìn)了跡秩 (tracial rank) 的概念并建立了有關(guān)跡秩的一系列基本結(jié)果。本項目發(fā)明的跡秩的概念用的與C*-代數(shù)上的跡態(tài)有關(guān)的弱逼近, 是一種在交換時類似概率意義下的秩逼近.這一創(chuàng)新達(dá)到了三個方面的效果:1)對C*-代數(shù)的要求較低,2)理論上容易驗證C*-代數(shù)的跡秩值,3）當(dāng)C*-代數(shù)交換時，跡秩與通常的緊空間的覆蓋維數(shù)吻合.當(dāng)跡秩為零時,C*-代數(shù)傳統(tǒng)的實秩與穩(wěn)定秩同時為最小. 低跡秩的C*-代數(shù)具有特殊的結(jié)構(gòu)使其包含了通常的穩(wěn)定有限單C*-代數(shù).

2.發(fā)現(xiàn)了C*-代數(shù)的近似可乘映照的唯一性定理, 從而可用KK-理論確定C*-代數(shù)間的映照. (對應(yīng)學(xué)科:算子代數(shù),論文序號:5,6,7,9)

發(fā)現(xiàn)用KK-理論在穩(wěn)定近似酉等價的意義下可以完全確定了C*-代數(shù)間的近似可乘映照. 其中的一個特例可敘述如下:

設(shè)A和B為二個可分的具有單位元的核C*-代數(shù),φ，ψ：A→B為二個同態(tài),則φ與ψ近似穩(wěn)定酉等價的充要條件為：φ與ψ引出相同的KL-元.

3.創(chuàng)建了零跡秩單核C*-代數(shù)的同構(gòu)分類理論.(對應(yīng)學(xué)科:算子代數(shù),論文序號:1,2,3,5)

其中最重要的成果可以簡單地敘述為:

（i）二個可分單核零跡秩的C*-代數(shù)同構(gòu)的充分必要條件為它們所對應(yīng)的有序K-群（保幺元）同構(gòu).

（ii）任何這樣的C*-代數(shù)所對應(yīng)的有序K-群都是弱無孔的單Riesz有序群.

（iii）給定任何一個弱無孔的單Riesz 群 一定有一個這樣的C*-代數(shù)使其對應(yīng)的K-群正好就是它.

4.解決了Von Neumann-Halmos關(guān)于幾乎交換的自共軛矩陣是否被交換的自共軛矩陣逼近的問題. (對應(yīng)學(xué)科:算子代數(shù),論文序號:10,55,24)

這是一個長期懸而末決的關(guān)于矩陣的問題.數(shù)十年來許多數(shù)學(xué)家, 包括Von Neumann 本人, R.Kadison, P. Halmos, C. Pearcy, A. Shields, I. Berg, D. Voiculescu, K. Davidson 等都對這個著名問題作過研究.項目完成人用本項目的關(guān)于C*-代數(shù)分類理論的方法解決了此問題,證明了一對幾乎交換的自共軛矩陣是一定可以被一對交換的自共軛矩陣逼近.

主要完成人： 1.   林華新

本項目由林華新教授獨立完成。該項研究占項目完成人工作量約60%。

10篇代表性論文：

1.   Classification of simple $C\sp *$-algebras of tracial topological rank zero./ Duke Math Journal

2.   An introduction to the classification of amenable $C\sp *$-algebras./ 專著(World Scientific)

3.   Classification of simple $C\sp *$-algebras and higher dimensional noncommutative tori. / Ann. of Math

4.   The tracial topological rank of $C\sp *$-algebras./ Proc. London Math. Soc.

5.   Classification of simple tracially AF $C\sp *$-algebras./ Canad. J. Math

6.   Tracially AF $C\sp *$-algebras./ Trans. Amer. Math. Soc.

7.   Simple $C\sp *$-algebras with continuous scales and simple corona algebras./ Proc. Amer. Math. Soc

8.   Exponential rank of $C\sp *$-algebras with real rank zero and the Brown-Pedersen conjectures./ J. Funct. Anal.

9.   Injective Hilbert $C\sp *$-modules./ Pacific J. Math

10.  Generalized Weyl-von Neumann theorems./ Internat. J. Math.