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項(xiàng)目簡(jiǎn)介： 上世紀(jì)八十年代以后，拓?fù)鋵W(xué)的重心轉(zhuǎn)到低維流形拓?fù)洌貏e是四維流形的拓?fù)涞取Ｍ瑫r(shí)，正曲率黎曼流形與代數(shù)族的拓?fù)湟恢笔峭負(fù)鋵W(xué)與幾何學(xué)中重要的交叉研究課題。本項(xiàng)目正是從事在這些領(lǐng)域的研究并取得了以下主要成果：
1、1944年，美國(guó)科學(xué)院院士Whitney證明: "任何維數(shù)n>4的可定向閉流形可以嵌入到 (2n-1) 維歐氏空間"。1963年，Haefliger和Hirsch合作，推廣了Whitney定理，證明了"若n>4, 則一個(gè)n維光滑的閉流形M可以嵌入到(2n-1)維歐氏空間中的充要條件是M的第(n-1)個(gè)法Stiefel-Whitney類為零"。一個(gè)長(zhǎng)期以來懸而未決的問題是：Whitney定理和Haefliger-Hirsch定理在四維是否成立？該問題曾先后被美國(guó)科學(xué)院院士Kirby、嵌入理論國(guó)際領(lǐng)袖人物Haefliger作為公開問題提出。方復(fù)全完全解決了這一問題，發(fā)表在拓?fù)鋵W(xué)最好的雜志《Topology》（1994、2002）。
2、與戎小春合作，證明了"2-連通正夾曲率流形" 的有限性定理，同時(shí)部分解決了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐猜想。論文發(fā)表在《Invent.Math.》。該工作被法國(guó)科學(xué)院院士、美國(guó)科學(xué)院院士Gromov在其專著中引用、被法國(guó)科學(xué)院通訊院士Berger在其綜述報(bào)告"二十世紀(jì)后半葉的黎曼幾何"中引用；也是合作者戎小春在2002年"國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)"上45分鐘報(bào)告的主要部分。
3、在國(guó)際上首次將Seiberg-Witten不變量與群作用聯(lián)系起來，證明了"Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理"。審稿人稱"該成果是一項(xiàng)重要工作"。該成果被Furuta在2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)45分鐘報(bào)告中引用。
4、完全解決了Libgober-Wood猜想。
5、將四維流形光滑結(jié)構(gòu)與三維流形嵌入問題聯(lián)系起來，研究成果被Gompf寫入美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)研究生教材中。
主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)：
1、引入Surgery理論與配邊理論方法，完全解決了"四維流形到七維歐氏空間中的嵌入問題"，填補(bǔ)了Whiteney嵌入理論（于1944年奠定）在四維情形的空白, 回答了這一有五十多年歷史的遺留問題。該問題曾被美國(guó)科學(xué)院院士Kirby、嵌入理論國(guó)際領(lǐng)袖人物Haefliger作為公開問題提出（所屬學(xué)科分類：幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[1][2][3]）。
2、與戎小春合作，證明了"對(duì)每個(gè)正數(shù)a，僅有有限多個(gè)2-連通的、夾曲率（即曲率K界于區(qū)間（a，1））的n維黎曼流形的拓?fù)渫咝?；并且"其單射半徑有一致的正下界"。對(duì)于2-連通的流形同時(shí)解決了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐的關(guān)于夾曲率黎曼流形的單射半徑猜想（所屬學(xué)科分類：微分幾何學(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[8][10]）。
3、在國(guó)際上首次將Seiberg-Witten不變量與群作用聯(lián)系起來，并給出Seiberg-Witten不變量的一個(gè)拓?fù)銴-理論的解釋，由此證明了"Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理"，成為他人工作的基礎(chǔ)（所屬學(xué)科分類：幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[4]）。
4、與人合作，將代數(shù)拓?fù)渲猩羁痰腁dams譜序列理論應(yīng)用于配邊群的計(jì)算，發(fā)展了經(jīng)典的Surgery理論，在國(guó)際上首次給出"復(fù)維數(shù)不超過4的完全交的拓?fù)浞诸?。其後，應(yīng)用Sullivan示性簇理論，獨(dú)立地基本解決了任意維數(shù)完全交的拓?fù)浞诸悊栴}，特別地，完全解決了Libgober-Wood猜想。這為德國(guó)數(shù)學(xué)家Bruckmann有關(guān)完全交�？臻g的研究奠定了基礎(chǔ)，也為Astey等人的后續(xù)工作奠定了基礎(chǔ)（所屬學(xué)科分類：幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[6][7]）。
5、法國(guó)科學(xué)院院士、美國(guó)科學(xué)院院士Gromov(1981)證明："截面曲率>a，直徑 6、將四維流形的光滑結(jié)構(gòu)問題與三維流形的嵌入問題聯(lián)系起來，證明了一大類非緊四維流形上存在有不可數(shù)多個(gè)光滑結(jié)構(gòu)，推廣了菲爾茲獎(jiǎng)獲得者Freedman在1979年的定理"S3xR上有無限多個(gè)光滑結(jié)構(gòu)" （所屬學(xué)科分類：幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[5]）。
主要完成人： 方復(fù)全
發(fā)現(xiàn)點(diǎn)（1）（3）（6）由申請(qǐng)人獨(dú)立完成；發(fā)現(xiàn)點(diǎn)（2）（5）由申請(qǐng)人和戎小春合作完成，申請(qǐng)人在其中承擔(dān)與拓?fù)湎嚓P(guān)的主要內(nèi)容以及有關(guān)黎曼幾何的部分內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)（4）由兩部分組成，其中前一部分由申請(qǐng)人與S.Klaus合作完成，申請(qǐng)人承擔(dān)其中幾何拓?fù)浞矫娴墓ぷ�；后一部分由申�?qǐng)人單獨(dú)完成。申請(qǐng)人在本項(xiàng)目中投入的工作量占全部工作量的90%以上。代表文章[1]至[10]全部是支持申請(qǐng)人貢獻(xiàn)的論文。
主要完成單位：
10篇代表性論文： Embedding four manifolds in R7, Topology, 第33卷
Embeddings of nonorientable 4-manifolds into R6，Topology, 第35卷
Orientable 4-manifolds topologically embed in R7 Topology, 第41卷
Smooth group actions on 4-manifolds and Seiberg-Witten invariants，Inter.J. Math., 第9卷
Smooth structures on ΣxR,Topo. & Appl., 第99卷
Topological classification of four dimensional complete intersections, Manuscript. Math , 第90卷
Topology of complete intersections，Comment. Math. Helv, 第72卷
Positive pinching, Volume and Second Betti Numbers，Geom. Func. Anal., 第9卷
Curvature, diameter, rational homotopy type and cohomology rings, Duke Math. J. 第107卷
Second twisted Betti numbers and the convergence of collapsing Riemannian manifolds，Invent. Math. 第150卷
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