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項目簡介：
本項目屬數(shù)學中的計算數(shù)學.有限元法是科學與工程計算最重要方法之一.但解高維問題困難很大. 有限元在某些點精度特別高,稱超收斂性,有重要的意義. 有限元權威Babuska院士1993年紀念有限元50年國際會議總結有限元研究10大進展,第2項為超收斂和重構. 國外1973年研究一維超收斂. 與外隔絕環(huán)境下本項目1977年計算張家界拱壩首次發(fā)現(xiàn)3維有限元超收斂性,1978年首次證明三角形線元和矩形1,2次元梯度的超收斂(后一結果獨立于Zlamal--西方有限元理論奠基人之一),是國際開拓工作. 堅持研究30年, 揭示超收斂普遍存在,為大規(guī)模計算提供了一種有效新模式:其計算量少,與維數(shù)無關. 主要創(chuàng)新點: 1. 首次發(fā)現(xiàn)與證明多維有限元的超收斂性. 原創(chuàng)一種研究方法-單元正交分析法.提出三種單元分析技術:即正交展開,合并消除和正交性修正; 2. 證明超收斂是一種深刻特性,不僅被廣泛用于高精度計算,而且也成為提出新算法和其它理論創(chuàng)新的基礎,本項目對非線性方程多解計算提出搜索延拓法及用超收斂方法證明Hamilton系統(tǒng)有限元的辛性質; 3. 對各類方程和單元,首次發(fā)現(xiàn)與證明了有限元4類基本超收斂結構. 對二階橢圓算子有:Gauss-Lobatto點和對稱點(部分地).對一階方程有Lobatto點(對連續(xù)元)和Radau點(對間斷元); 4.提出了4大法則,可解決一般區(qū)域,奇異解,時-空方程和非線性等問題.因此在廣闊框架下創(chuàng)建了唯一完整的有限元超收斂理論方法體系. 本研究得到國內外專家高度評價.1996年芬蘭第1次,2000年美國第2次有限元超收斂國際會議及Babuska院士新著,都公認當今國際超收斂研究有三學派:中國,美國Ithaca (Wahlbin等)和Texas(Babuska等).本項目作了最主要貢獻. 2004年在長沙組織第3次超收斂國際會議,進一步增強了國際影響. 發(fā)表主要論文120多篇(早期是中文,只MR刊英文摘要),出版中英文專著6本.95年后被SCI收錄45篇, IE收錄36篇,ISTP收錄5篇, SCI論文引證242次; 專著"有限元高精度理論"單引超過100次,SCI36次.另Krizek報告和Wahlbin專著引用60次.
主要發(fā)現(xiàn)點：
1. 首次發(fā)現(xiàn)和證明多維有限元的超收斂性. 國外73年研究一維超收斂.本項目77年計算湖南張家界拱壩時首次發(fā)現(xiàn)多維有限元超收斂現(xiàn)象. 78年首次證明三角形1次元平均梯度在對稱點和矩形1,2次元梯度在Gauss點的超收斂(后一結果獨立于捷克M.Zlamal--西方有限元理奠基人之一). 原創(chuàng)一種研究超收斂的方法-單元正交分析法.其新思想是發(fā)現(xiàn)產生超收斂的一種重要機理,例如當網格幾乎均勻時,有限元在單元上近似A-正交.因此研究可從一個單元開始. 為此提出了三種單元分析技術:即正交展開,合并消除和正交性修正. 第三種新技術為1997年后作出新推進起了決定性作用. 本項目證明有限元超收斂是一種內在的深刻特性, 它不僅已廣泛用于科學與工程計算,而且它也成為提出許多新算法和其它理論創(chuàng)新的基礎.本項目首次對非線性方程多解計算提出搜索延拓法及用超收斂方法證明Hamilton系統(tǒng)有限元的辛性質,作出兩項創(chuàng)新;因此本項研究從多方面促進了計算學科的發(fā)展.(此項屬偏微分方程數(shù)值解,有關論著為[書1,書5,文6,文8,書10]);
2. 對各類偏微分方程和單元,首次發(fā)現(xiàn)與證明了有限元的4類基本超收斂結構.它們也是目前已知的主要結構. 80年代已發(fā)現(xiàn)對二階橢圓算子有:Gauss-Lobatto點和對稱點(部分地).97年后發(fā)現(xiàn)一階方程組有Lobatto點(對連續(xù)元)和Radau點(對間斷元),它們對時間離散也有效.因此又發(fā)現(xiàn)雙曲,拋物問題的有限元全離散有時-空雙重超收斂性. 本項目全面揭示超收斂是有限元的普遍特性,提出了4大法則:為解決一般區(qū)域,奇異解, 時空雙重超收斂和非線性等廣泛問題建立了依據(jù),多數(shù)結果直到邊界有效.本項目在廣闊框架下創(chuàng)建了唯一完整的有限元超收斂理論方法體系. 因此除加密網格和增高次數(shù)外,使用超收斂性為解決大規(guī)模計算提供了一種高效新模式,其計算量少,與維數(shù)無關.本項目曾成功用于面板壩計算. (此項屬偏微分方程數(shù)值解,有關論著為[書2,書3,書4,文8]);
主要完成人：
1. 陳傳淼
為創(chuàng)建有限元超收斂理論方法體系,使中國學派為國際公認,作出了最主要貢獻:
1. 首次發(fā)現(xiàn)證明多維有限元的超收斂性(屬發(fā)現(xiàn)點1);
2. 原創(chuàng)一種研究方法和三種分析技巧(屬發(fā)現(xiàn)點1);
3. 首次發(fā)現(xiàn)證明4類超收斂結構(對稱點部分地)(屬發(fā)現(xiàn)點2);
4. 提出超收斂4法則(屬發(fā)現(xiàn)點2);
5. 首次證明H-系統(tǒng)有限元的辛性質(屬發(fā)現(xiàn)點1).
本人研究本項目的工作量超過本人工作量的百分之八十.在10篇主要論著中有8篇單獨,兩篇合作完成.
2. 黃云清
為本體系的發(fā)展,完善作了重要貢獻:
1. 首次證明在一般區(qū)域的PC,6PC剖分及對奇異解在等級網格上的超收斂(屬發(fā)現(xiàn)點2);
2. 首次用EOA證明對非正規(guī)三角形網格上線元的超收斂(屬發(fā)現(xiàn)點2);;
3. 對積分微分方程提出累加格式及用能量嵌入簡化最大模估計(屬發(fā)現(xiàn)點2);.
4. 負責計算面板堆石壩(屬發(fā)現(xiàn)點2);.
本人研究本項目的工作量超過本人工作量的百分之五十.合作完成10篇主要論著中的[專著2].
3. 謝資清
為本項目非線性偏微分方程多解計算的創(chuàng)新作了重要貢獻:
1. 首次詳細研究奇與非奇非線性情形多解的計算,結構和Morse指標,為提出搜索延拓法打下堅實基礎(屬發(fā)現(xiàn)點1);;
2. 首次證明插值系數(shù)有限元的收斂性和超收斂性,并用于搜索延拓法(屬發(fā)現(xiàn)點1);.
本人研究本項目的工作量占本人工作量的百分之六十.合作完成10篇主要論著中的[專著10].
10篇代表性論文： 1. 有限元方法及其提高精度的分析,湖南科技出版社
2. 有限元高精度理論,湖南科技出版社
3. 有限元超收斂構造理論,湖南科技出版社
4. FEMs for Integrodifferential Equations. Series on Appl. Math. V.9. Singapore: World Scientific
5. 三角形線元的應力佳點.高校計算數(shù)學學報
6. 有限元解及其導數(shù)的超收斂性.高校計算數(shù)學學報
7. W^{1,∞}-interior estimates for FEMs on regular meshes. J.Math.Comp.
8. Superconergence for triangular FEMs. Science in China.
9. The lumped mass FEM for a parabolic problem. J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 26
10. 非線性微分方程多解計算的搜索延拓法.科學出版社
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