項(xiàng)目名稱： 基于調(diào)和映射的移動(dòng)網(wǎng)格方法及其應(yīng)用

推薦單位： 教育部

項(xiàng)目簡(jiǎn)介： 所屬科技領(lǐng)域：數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)。

研究?jī)?nèi)容：基于調(diào)和映射構(gòu)造邏輯區(qū)域和物理區(qū)域之間的坐標(biāo)變換，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格迭代移動(dòng)；考慮邊界網(wǎng)格和區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格同步移動(dòng)；利用移動(dòng)網(wǎng)格逼近空間(時(shí)間方向)連續(xù)變化的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)滿足偏微分方程(PDE)和解所具有的性質(zhì)(如守恒等)的新舊網(wǎng)格之間解重映算法；研究PDE的保持物理性質(zhì)的計(jì)算方法，將其與網(wǎng)格迭代重分布結(jié)合，發(fā)展求解PDE的一類基于調(diào)和映射的分裂型移動(dòng)網(wǎng)格方法。將移動(dòng)網(wǎng)格方法推廣應(yīng)用于一般流形（如球面）上的PDE求解；面向應(yīng)用，深入研究解重映和控制函數(shù)的選取。開發(fā)有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的自適應(yīng)網(wǎng)格方法軟件包。

科學(xué)價(jià)值：網(wǎng)格是PDE數(shù)值解法的基礎(chǔ)之一，網(wǎng)格體系和質(zhì)量直接影響著計(jì)算效率和精度，甚至關(guān)系到計(jì)算的成敗。自適應(yīng)網(wǎng)格方法已成為國(guó)際上現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算的一個(gè)研究熱點(diǎn)，在大規(guī)�？茖W(xué)與工程計(jì)算中有很好的應(yīng)用前景。我們提出的基于調(diào)和映射的分裂型移動(dòng)網(wǎng)格方法徹底解決了過(guò)去的高維移動(dòng)網(wǎng)格方法引起的網(wǎng)格纏繞問(wèn)題。提出的區(qū)域邊界和內(nèi)部網(wǎng)格相互耦合的移動(dòng)方式、新舊網(wǎng)格間保持物理性質(zhì)的解重映對(duì)提高計(jì)算精度和質(zhì)量均具有特別重要的意義。網(wǎng)格的重分布和PDE的求解相對(duì)獨(dú)立，極大地提高了程序編制的效率，非常有利于算法的程序開發(fā)和實(shí)際應(yīng)用。

引用評(píng)價(jià)：參評(píng)10篇論文主要發(fā)表在行業(yè)內(nèi)最好的雜志如J. Comput. Phys., SIAM J. Numer. Anal., SIAM J. Sci. Comput., J. Sci. Comput.等，已被他引199次, 其中SCI他引130次。部分引用評(píng)價(jià)："Adaptive methods ... have been developed by Tang et al. [16]. ... their results are very impressive."(摘自B. Cockburn and B. Yenikaya, J. Comput. Phys., 209(2), 2005, 391-405)；"目前采用調(diào)和映照構(gòu)造網(wǎng)格是最好的,……可避免因網(wǎng)格移動(dòng)可能帶來(lái)的網(wǎng)格纏繞,……,我國(guó)青年學(xué)者張平文,湯濤,李若等在此方向做了重要的創(chuàng)造工作[82,83]。"(摘自陳傳淼, 科學(xué)計(jì)算概論, 科學(xué)出版社, 2007,71-72)。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)： 下列 1,2,3,4為核心發(fā)現(xiàn)點(diǎn)，5,6 為其它重要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。

1. 利用調(diào)和映射構(gòu)造邏輯區(qū)域和物理區(qū)域之間的坐標(biāo)變換并采用一個(gè)迭代的過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的移動(dòng), 徹底解決了已有的高維移動(dòng)網(wǎng)格方法中網(wǎng)格可能發(fā)生纏繞或折疊問(wèn)題。也考慮了調(diào)和映射的推廣和改進(jìn)使其自然地完成區(qū)域邊界上和內(nèi)部的網(wǎng)格相互耦合的移動(dòng)方式，根本地避免了過(guò)去的移動(dòng)網(wǎng)格方法中邊界和內(nèi)部網(wǎng)格必須分開處理的問(wèn)題，使得產(chǎn)生的網(wǎng)格的質(zhì)量更高，有效地提高計(jì)算的精度。[參評(píng)論文1,2,3,4,6,9,10；所屬學(xué)科領(lǐng)域：偏微分方程數(shù)值解]

2. 基于移動(dòng)網(wǎng)格逼近空間(在時(shí)間方向)連續(xù)變化的特殊特點(diǎn),設(shè)計(jì)了滿足控制方程和解所具有的性質(zhì)(如守恒，無(wú)散度等)的新網(wǎng)格和舊網(wǎng)格之間的解重映算法。結(jié)果表明這樣的重映算法比傳統(tǒng)的多項(xiàng)式插值具有更好的性質(zhì)，它可以自然地保持所求的解的一些固有物理性質(zhì)。[參評(píng)論文1,2,3,4,6,9；所屬學(xué)科領(lǐng)域：偏微分方程數(shù)值解]

3. 發(fā)展了在一般網(wǎng)格上的偏微分方程的一些保持物理性質(zhì)的計(jì)算方法；將其與網(wǎng)格迭代重分布和解重映結(jié)合，發(fā)展了求解微分方程的一類基于調(diào)和映射的分裂型移動(dòng)網(wǎng)格方法。網(wǎng)格的重分布和偏微分方程的求解相對(duì)獨(dú)立，極大地提高了程序編制的效率，有利于算法的應(yīng)用。[參評(píng)論文1,2,3,4,6,9,10；所屬學(xué)科領(lǐng)域：偏微分方程數(shù)值解]

4. 這些算法已經(jīng)被包裝于有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的軟件包AFEPack(國(guó)家軟件版權(quán)局軟著登字第BJ5586號(hào)）中。

5. 將調(diào)和映射成功推廣應(yīng)用于球面上的偏微分方程的求解，解決了球面上的奇性問(wèn)題（如Fokker-Planck方程）的計(jì)算，很大程度上提高了計(jì)算效率和精度。[參評(píng)論文10；所屬學(xué)科領(lǐng)域：偏微分方程數(shù)值解]

6. 面向應(yīng)用、針對(duì)具體問(wèn)題， 對(duì)一系列比較難于處理的典型時(shí)間發(fā)展問(wèn)題進(jìn)行了計(jì)算且獲得了非常好的效果。具體問(wèn)題包括非線性對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題、反應(yīng)擴(kuò)散問(wèn)題、多相流問(wèn)題、磁流體力學(xué)問(wèn)題等。[參評(píng)論文1,2,3,4,5,6,7,8,9,10；所屬學(xué)科領(lǐng)域：偏微分方程數(shù)值解]

主要完成人： 張平文

本人對(duì)該項(xiàng)目《主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)》欄中所列第1,2,3,5和6發(fā)現(xiàn)點(diǎn)做出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn)。本人在該項(xiàng)研究中底工作量占本人工作量的70%。

湯濤

本人對(duì)該項(xiàng)目《主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)》欄中所列第1,2,3,5和6發(fā)現(xiàn)點(diǎn)做出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn)。本人在該項(xiàng)研究中底工作量占本人工作量的70%。

李若

本人對(duì)該項(xiàng)目《主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)》欄中所列第1至6發(fā)現(xiàn)點(diǎn)做出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn)。本人在該項(xiàng)研究中底工作量占本人工作量的80%。

湯華中

本人對(duì)該項(xiàng)目《主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)》欄中所列第1,2,3,6發(fā)現(xiàn)點(diǎn)做出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn)。本人在該項(xiàng)研究中底工作量占本人工作量的80%。