項(xiàng)目名稱： 約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與幾何動力學(xué)

推薦單位： 湖南省

項(xiàng)目簡介： 本項(xiàng)目屬于力學(xué)學(xué)科中的基礎(chǔ)力學(xué)和一般力學(xué)的基礎(chǔ)理論研究。約束力學(xué)系統(tǒng)系指完整約束系統(tǒng)，非完整約束系統(tǒng)和Birkhoff系統(tǒng)等。對稱性主要指Noether對稱性，Lie對稱性，形式不變性等。幾何動力學(xué)系指用近代微分幾何工具，如流形，纖維叢，聯(lián)絡(luò)等來描述力學(xué)系統(tǒng)動力學(xué)。 約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與幾何動力學(xué)屬于分析力學(xué)的近代發(fā)展。

本項(xiàng)目的貢獻(xiàn)主要有：1）完整保守系統(tǒng)的Lie對稱性首次推廣到完整非保守系統(tǒng)，在施加一些限制后推廣到非完整系統(tǒng)，也推廣到更一般的Birkhoff系統(tǒng)，并導(dǎo)出了守恒量；2）首次提出了一類新的對稱性－－形式不變性，它不同于Noether對稱性，也不同于Lie對稱性，它是指動力學(xué)函數(shù)（Lagrange函數(shù)，Hamilton函數(shù)，廣義力，約束方程中的函數(shù)等）在經(jīng)歷無限小變換后仍然滿足原來動力學(xué)方程的一種對稱性。對各類約束力學(xué)系統(tǒng)給出形式不變性的定義和判據(jù)；3）首次研究了一般動力學(xué)系統(tǒng)的絕熱不變量；4）運(yùn)用現(xiàn)代整體微分幾何方法，研究了約束力學(xué)系統(tǒng)的若干有爭議的基本問題和基本原理，特別是Pfaff約束系統(tǒng)的可積性問題、非完整變分法中Chetaev條件、 d-δ交換關(guān)系問題；5）給出幾類動力學(xué)系統(tǒng)的Poincaré-Cartan積分不變量，非完整系統(tǒng)的Birkhoff動力學(xué)與贗Poisson結(jié)構(gòu)，以及非完整系統(tǒng)幾何動力學(xué)的Lagrange理論。

本項(xiàng)目十多年來在國家自然科學(xué)基金和省部委項(xiàng)目的長期支持下，較系統(tǒng)全面地研究了約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性理論和幾何理論。分析力學(xué)作為整個力學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，本項(xiàng)目的成果具有重要科學(xué)價值。本項(xiàng)目提交的十篇代表論著被SCI他引323 次。其他十一篇主要論著被SCI他引294 次。本項(xiàng)目提交的在Appl. Mech. Rev.上發(fā)表的長文被俄羅斯、美國的同行專家引用，并收在2007年《力學(xué)學(xué)科發(fā)展研究報告》中。

本項(xiàng)目成果獲2007年教育部自然科學(xué)獎一等獎。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)： 1. 形式不變性的發(fā)現(xiàn)與提出（分析力學(xué)）

本項(xiàng)目于2000年對Lagrange系統(tǒng)提出"形式不變性"的定義和判據(jù)，并通過Noether對稱性導(dǎo)出了守恒量。2002年進(jìn)一步研究了非完整系統(tǒng)的形式不變性，它與Lie對稱性的關(guān)系，并導(dǎo)出了守恒量。形式不變性是指動力學(xué)函數(shù)（如Lagrange函數(shù)，Hamilton函數(shù)，廣義力，約束方程中的函數(shù)等）在經(jīng)歷時間和坐標(biāo)的無限小變換后仍然滿足原來動力學(xué)方程的一種不變性。這種不變性是一種新的對稱性，它不同于Noether對稱性，也不同于Lie對稱性。形式不變性從力學(xué)角度比Noether對稱性和Lie對稱性更易理解。在Chin. Phys.和物理學(xué)報上有48篇文章引用上述結(jié)果，有的作者稱形式不變性為Mei對稱性。

2. Lie對稱性的推廣 （分析力學(xué)）

Lutzky于20世紀(jì)70年代末將微分方程在時間和坐標(biāo)的無限小變換下不變的Lie對稱性首先應(yīng)用于完整保守系統(tǒng)。本項(xiàng)目主要是將Lie對稱性理論推廣并應(yīng)用于各類約束力學(xué)系統(tǒng)并求得守恒量。1994年將Lie對稱性理論推廣并應(yīng)用于完整非保守系統(tǒng)。其后將Lie對稱性理論推廣并應(yīng)用于各類約束力學(xué)系統(tǒng)，包括準(zhǔn)坐標(biāo)下一般完整系統(tǒng)，有多余坐標(biāo)的完整系統(tǒng)，變質(zhì)量完整系統(tǒng)，事件空間，相對運(yùn)動動力學(xué)，非完整系統(tǒng)，Birkhoff系統(tǒng)等，同時也導(dǎo)出了相應(yīng)的守恒量。發(fā)現(xiàn)對有多余坐標(biāo)系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)需要增加一些限制才行。上述結(jié)果被國內(nèi)研究者多次引用并繼續(xù)發(fā)展。

3. 幾何動力學(xué)的推廣（分析力學(xué)）

幾何動力學(xué)是分析動力學(xué)的一個近代發(fā)展方向。本項(xiàng)目主要是將幾何動力學(xué)推廣并應(yīng)用于非完整系統(tǒng)和Birkhoff系統(tǒng)等。證明了由Pfaff約束所確定的纖維化約束子流形上存在Ehressmann聯(lián)絡(luò)與非完整力學(xué)中的 d-δ交換關(guān)系密切相關(guān)，并證明了Pfaff系統(tǒng)完全可積性等價于經(jīng)典變分學(xué)對條件變分的三點(diǎn)要求，借助于射叢的直和分解實(shí)現(xiàn)了Chetaev條件的幾何表示；建立了構(gòu)造非保守、非完整動力學(xué)系統(tǒng)的Poincaré-Cartan積分不變量的辛幾何方法；在Hamilton力學(xué)Birkhoff推廣的框架內(nèi)構(gòu)造了約束力學(xué)系統(tǒng)的萬有辛結(jié)構(gòu)；將非完整系統(tǒng)的Chetaev模型和Vacco模型的動力學(xué)方程分別表為Riemann-Cartan流形上的自平行線和測地線方程，將其差異歸于非完整約束所確定的流形的撓率；對非完整幾何動力學(xué)的Lagrange理論給出了綜述并介紹了作者的成果。文獻(xiàn)[10]被收錄于2005年"國家學(xué)科發(fā)展藍(lán)皮書"中。

主要完成人： 梅鳳翔

第一發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與第二發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。投入該項(xiàng)研究的工作量占本人工作量的80％。

1. 提出并發(fā)現(xiàn)約束力學(xué)系統(tǒng)的一類新的對稱性－形式不變性。首先，對Lagrange系統(tǒng)，后來對其他約束力學(xué)系統(tǒng)提出形式不變性的定義和判據(jù)，研究它與Noether對稱性，與Lie對稱性之間的關(guān)系并導(dǎo)出了守恒量。

2. 將Lie對稱性理論推廣并應(yīng)用于準(zhǔn)坐標(biāo)下一般完整系統(tǒng)，有多余坐標(biāo)完整系統(tǒng)，事件空間，相對運(yùn)動動力學(xué)，非完整系統(tǒng)，Birkhoff系統(tǒng)等。給出各類系統(tǒng)Lie對稱性的定義，判據(jù)并導(dǎo)出了守恒量。

趙躍宇

第二發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。投入該項(xiàng)研究的工作量占本人工作量的55％。

1993年在<<力學(xué)進(jìn)展>>上發(fā)表綜述<<力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與不變量>>，其后研究了完整保守系統(tǒng)的Lie對稱性理論,得到了一般動力學(xué)系統(tǒng)的絕熱不變量。在專著<<力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與不變量>>中全面系統(tǒng)地論述了力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量。這些工作在國內(nèi)有關(guān)對稱性理論研究上起到了帶頭作用。

郭永新

第三發(fā)現(xiàn)點(diǎn)。投入該項(xiàng)研究的工作量占本人工作量的55％。

1. 利用幾何動力學(xué)方法，對經(jīng)典非完整力學(xué)中的有爭議的微分－變分對易關(guān)系、關(guān)于變分的Chetaev條件等基本問題和經(jīng)驗(yàn)性論斷，進(jìn)行了全面系統(tǒng)的論證。2.發(fā)現(xiàn)并證明了尋找動力學(xué)系統(tǒng)積分不變量的最有效方法－構(gòu)造辛結(jié)構(gòu)方法，從而改變了國內(nèi)外傳統(tǒng)觀點(diǎn)。3. 構(gòu)造了約束系統(tǒng)的萬有辛結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)了非完整系統(tǒng)普適的Birkhoff表示，此種方法為非完整系統(tǒng)的對稱性約化提供了新的途徑。4.找到了比較非完整約束系統(tǒng)的Chetaev模型和Vacco模型的共同幾何框架： Riemann-Cartan流形，證明了兩種模型分別刻畫了該流形的自平行線和測地線，將二者差異歸于非完整約束所確定的約束流形的撓率。