項目名稱： 無限維控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)理論

推薦單位： 中國科學(xué)院

項目簡介： 本項目屬數(shù)學(xué)控制論領(lǐng)域。許多數(shù)學(xué)家如J.M. Bismut、A. Friedman、J.L. Lions、P.L. Lions和L.S. Pontryagin等曾在該領(lǐng)域作出過重要工作。本項目用統(tǒng)一的思想、觀點和方法研究無限維系統(tǒng)的能控性、能觀性、長時間行為以及與之密切相關(guān)的偏微分方程的整體唯一延拓性質(zhì)等，尤其是領(lǐng)域中某些長期懸凝的基本問題。

工作被4部專著、1本研究生教材和8篇關(guān)于領(lǐng)域進(jìn)展的重要綜述報告（包括ICM大會報告和特邀報告各1個）他引，總他引222次，SCI總他引94次。引用者包括A.L. Bukhgeim、P. Cannarsa、J.M. Coron、E. Fernández-Cara、R. Illner、O.Yu. Imanuvilov、V. Isakov、I. Lasiecka（IEEE Fellow）、G. Lebeau（法國科學(xué)院院士）、T. T. Li、S. Micu、L. Pandolfi、A. Quarteroni（意大利國家科學(xué)院院士）、J.-P. Raymond、M. Renardy、J.J. Telega、E. Trélat、R. Triggiani、G. Uhlmann、M. Yamamoto和E. Zuazua等21位現(xiàn)任或曾任國際重要期刊的主編或編委，其中A. Quarteroni系ICM大會報告人，J.M. Coron、O.Yu. Imanuvilov、G. Lebeau、G. Uhlmann和E. Zuazua等5位系ICM特邀報告人。引用期刊包括SIAM Rev.、Arch. Ration. Mech. Anal.、Proc. R. Soc. Lond. A等。

O.Yu. Imanuvilov等國際同行的公開評價是"the strongest result"、"significant contribution"、"important contribution"、"important paper"、"very interesting decay results"、"an extensive and interesting discussion"、"The paper is very interesting"、"The main novelty of the paper is…"、"a very good and important survey"以及"a very extensive and interesting paper"等。張旭任SIAM J. Control Optim.和ESAIM Control Optim. Calc. Var.等4份國際期刊編委；先后10次在國際學(xué)術(shù)會議上作大會或特邀報告；曾獨立獲教育部自然科學(xué)一等獎等。

主要發(fā)現(xiàn)點： 核心發(fā)現(xiàn)點：

1、給出了一套基于"主型微分算子的逐點估計+整體Carleman型估計+通常能量估計"的關(guān)于偏微分方程能觀性估計的新方法，并得到其在無限維系統(tǒng)的能控性、反問題、以及分析系統(tǒng)的長時間行為等方面的諸多應(yīng)用。該方法與前人工作的區(qū)別，一是不依賴于任何已知的的唯一延拓性質(zhì)，二是可以給出能觀性常數(shù)的顯式估計，三是不需要緊性，四是不依賴于方程的類型和特征等，從而可以解決領(lǐng)域中某些長期懸凝的基本問題，克服學(xué)科發(fā)展的某些障礙。（該工作被E. Zuazua的ICM2006特邀報告引用）。(學(xué)科：數(shù)理偏微分方程、控制論。代表性論著：[1]，[2])；

其它重要發(fā)現(xiàn)點：

2、在一定程度和意義下建立了拋物型和雙曲型方程統(tǒng)一的能控性理論，是該問題自1973年被領(lǐng)域創(chuàng)始人之一D.L. Russell提出以來僅有的進(jìn)展。發(fā)現(xiàn)原先各自獨立發(fā)展的拋物型和雙曲型方程的能控性理論之間的有機聯(lián)系，即證明了對精確能控的雙曲型方程的奇異攝動問題取極限即得到某個拋物型方程的能控性，且拋物型方程的能控性結(jié)果都可以由某個雙曲型方程的能控性推出。尤其是發(fā)現(xiàn)可從同一個關(guān)于"類拋物"微分算子的恒等式出發(fā)給出這兩類性質(zhì)完全不同的方程能控性問題的統(tǒng)一處理。(學(xué)科：控制論、數(shù)理偏微分方程。代表性論著：[3]，[4])；

3、發(fā)現(xiàn)一類偏微分方程整體唯一延拓性質(zhì)的奇異現(xiàn)象，即其解唯一與否依賴于其低階項系數(shù)的零點的位置，說明研究偏微分方程的整體唯一延拓性質(zhì)有其獨立的意義。對一些具非光滑系數(shù)的偏微分方程給出了整體唯一延拓性質(zhì)和能觀性估計的統(tǒng)一方法及其在控制論中的應(yīng)用，部分解決了L. Hormander的一個猜測。(學(xué)科：數(shù)理偏微分方程、控制論。代表性論著：[5]，[6]，[9])；

4、發(fā)現(xiàn)一類描寫水下機器人及心血管運動等模型的雙曲拋物耦合組的控制和觀測等問題與經(jīng)典情形有本質(zhì)差別，并給出了一套在分析有關(guān)現(xiàn)象中需要的關(guān)于指數(shù)和的Ingham型不等式的新方法，即基于某個偏微分方程的能觀性估計（與文獻(xiàn)中常見的基于函數(shù)論或解析數(shù)論的方法不同）。（該工作被A. Quarteroni的ICM2006大會報告引用）。(學(xué)科：數(shù)理偏微分方程、控制論。代表性論著：[7])；

5、用統(tǒng)一的方法給出了在任何空間維數(shù)下，關(guān)于非線性函數(shù)可能超線性增長時半線性波動方程和半線性板方程的整體精確能控性結(jié)果。就這些非線性方程而言，對J.L. Lions在"SIAM Rev., 30（1988）, 1-68"中提出的（并明確指出是）兩個最重要的問題之一給出了解答。(學(xué)科：控制論、數(shù)理偏微分方程。代表性論著：[8]，[10])。

主要完成人： 張旭

獨立完成發(fā)現(xiàn)點1（它是本項目其它工作的基礎(chǔ)和主要工具）；在發(fā)現(xiàn)點2中，給出了對證明精確能控的雙曲型方程的奇異攝動問題的極限即某個零能控的拋物型方程起關(guān)鍵作用的能觀性常數(shù)的估計，其余部分系獨立完成；在發(fā)現(xiàn)點3中，對發(fā)現(xiàn)偏微分方程整體唯一延拓性質(zhì)的奇異現(xiàn)象起關(guān)鍵作用。對該發(fā)現(xiàn)點的其余部分，從問題的提出到重要技術(shù)突破都有主要貢獻(xiàn)；在發(fā)現(xiàn)點4中，給出了在分析一類雙曲拋物耦合組的控制和觀測等問題的新現(xiàn)象中至為重要的關(guān)于指數(shù)和的Ingham型不等式的新方法；獨立完成發(fā)現(xiàn)點5。在該項研究中的工作量占本人工作量的88％。系代表作[1][2][3][8][10]唯一作者，[5][6][7][9]主要學(xué)術(shù)思想的提出者，在[4]中作出最關(guān)鍵的技術(shù)突破。