項(xiàng)目名稱： 四維流形拓?fù)渑c正曲率黎曼流形的拓?fù)?

推薦單位： 專家推薦

項(xiàng)目簡介： 本項(xiàng)目研究了四維流形的拓?fù)渑c正曲率黎曼流形的拓?fù)�，這是拓?fù)鋵W(xué)和幾何學(xué)中最重要的研究課題之一，主要完成人方復(fù)全在本項(xiàng)目中主要取得了以下五方面的代表性成果：

1、完全解決了四維流形在七維歐氏空間中的嵌入問題：1944年，美國科學(xué)院院士Whitney證明: "任何維數(shù)n>4的可定向閉流形可以嵌入到(2n-1) 維歐氏空間"。1963年，Haefliger和Hirsch推廣了Whitney定理，證明了"若n>4, 則一個(gè)n維光滑的閉流形M可以嵌入到(2n-1)維歐氏空間中的充要條件是M的第(n-1)個(gè)法Stiefel-Whitney類為零"。一個(gè)長期以來懸而未決的問題是：Whitney定理和Haefliger-Hirsch定理在四維是否成立？該問題曾先后被美國科學(xué)院院士Kirby、嵌入理論國際領(lǐng)袖人物Haefliger作為公開問題提出。該問題最終由方復(fù)全完全肯定回答，論文發(fā)表在拓?fù)鋵W(xué)最好的雜志《Topology》（1994、2002）。

2、證明了"2-連通正夾曲率流形" 的有限性定理，同時(shí)部分解決了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐猜想（與戎小春合作）。論文發(fā)表在《Invent.Math.》。該工作被法國科學(xué)院院士Gromov在其專著中引用、被法國科學(xué)院通訊院士Berger在其綜述報(bào)告"二十世紀(jì)后半葉的黎曼幾何"中引用；也是合作者在2002年"國際數(shù)學(xué)家大會(huì)"上45分鐘報(bào)告的主要部分之一。

3、證明了"Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理"， 在國際上首次將Seiberg-Witten不變量與群作用聯(lián)系起來。該成果被Furuta在2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)45分鐘報(bào)告中引用，并引發(fā)了他人多項(xiàng)后續(xù)工作。

4、得到了一批有不可數(shù)多個(gè)不同光滑結(jié)構(gòu)的四維流形，相關(guān)研究成果被Gompf- Stipsicz寫入美國數(shù)學(xué)會(huì)研究生教材中。

5、證明了"Libgober-Wood猜想"，實(shí)質(zhì)性地啟發(fā)了他人后續(xù)工作。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)： 1、引入Surgery理論與配邊理論方法，完全解決了"四維流形到七維歐氏空間中的嵌入問題"，填補(bǔ)了Whiteney嵌入理論（于1944年奠定）在四維情形的空白, 回答了這一有五十多年歷史的遺留問題。該問題曾被美國科學(xué)院院士Kirby、嵌入理論國際領(lǐng)袖人物Haefliger作為公開問題提出（所屬學(xué)科分類：幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[1][2]）。

2、（與戎小春合作) 證明了"對(duì)每個(gè)正數(shù)a，僅有有限多個(gè)2-連通的、夾曲率（即曲率K屬于區(qū)間（a，1））的n維黎曼流形的拓?fù)渫�胚�?；并且"其單射半徑有一致的正下界"。對(duì)于2-連通的流形同時(shí)解決了Klingenberg-Sakai猜想和丘成桐的關(guān)于夾曲率黎曼流形的單射半徑猜想（所屬學(xué)科分類：微分幾何學(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[3][4]）。

3、在國際上首次將Seiberg-Witten不變量與群作用聯(lián)系起來，并給出Seiberg-Witten不變量的一個(gè)拓?fù)銴-理論的解釋，由此證明了"Seiberg-Witten不變量的模p消滅定理"，成為他人工作的基礎(chǔ)（所屬學(xué)科分類：幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[7]）。

4、應(yīng)用Sullivan示性簇理論，部分解決了任意維數(shù)完全交的拓?fù)浞诸悊栴}，特別地，證明了Libgober-Wood猜想，也為Astey等人的后續(xù)工作奠定了基礎(chǔ)。另一方面，與人合作，將代數(shù)拓?fù)渲猩羁痰腁dams譜序列理論應(yīng)用于配邊群的計(jì)算，發(fā)展了經(jīng)典的Surgery理論，在國際上首次給出"復(fù)維數(shù)不超過4的完全交的拓?fù)浞诸?。這為德國數(shù)學(xué)家Bruckmann有關(guān)完全交�？臻g的研究奠定了基礎(chǔ)，（所屬學(xué)科分類：幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[9][10]）。

5、法國科學(xué)院院士、美國科學(xué)院院士Gromov(1981)證明："截面曲率>a，直徑 6、將四維流形的光滑結(jié)構(gòu)問題與三維流形的嵌入問題聯(lián)系起來，證明了一大類非緊四維流形上存在有不可數(shù)多個(gè)光滑結(jié)構(gòu)（所屬學(xué)科分類：幾何拓?fù)鋵W(xué)；代表論文[8]）。

主要完成人： 方復(fù)全

本人投入本項(xiàng)目的工作量占本人工作量的百分之九十以上。主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)1、3、6系本人獨(dú)立完成的工作（代表論文[1][2][7][8][9]），發(fā)現(xiàn)點(diǎn)2、4、5系本人與人合作的成果（代表論文[3-6][10），本人在其中的貢獻(xiàn)是主要和本質(zhì)的。