項(xiàng)目簡(jiǎn)介：  

本項(xiàng)目是代數(shù)表示論、無(wú)限維李代數(shù)和量子群的交叉研究項(xiàng)目，它與群表示論、代數(shù)幾何及數(shù)學(xué)物理等緊密聯(lián)系。代數(shù)表示論是當(dāng)今代數(shù)學(xué)研究的重要方向，quiver表示成為眾多核心數(shù)學(xué)分支的重要工具。利用代數(shù)表示論的成果和代數(shù)幾何方法，從quiver表示角度來(lái)考察李代數(shù)、量子群等相關(guān)問(wèn)題，深入到了當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿。

作為理論的一個(gè)發(fā)展，量子群的內(nèi)涵非常豐富和深刻，不僅包含了半單李群、李代數(shù)的經(jīng)典內(nèi)容，同時(shí)，也包含了Kac-Moody李代數(shù)等許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。Ringel由quiver表示導(dǎo)出的Hall代數(shù)為量子群的正部分提供了一個(gè)精確模型，在此基礎(chǔ)上，Lusztig和Nakajima等人利用代數(shù)幾何和微分幾何等方法把量子群定義在quiver variety的Perverse sheaf上，獲得了巨大成功。Hall代數(shù)方法與三角范疇、導(dǎo)出范疇的結(jié)合，是當(dāng)前國(guó)際代數(shù)與幾何表示論研究的重要內(nèi)容。一方面，它可以得到Kac-Moody李代數(shù)及其量子包絡(luò)代數(shù)的精確實(shí)現(xiàn)；另一方面，溝通了凝聚層范疇和K.Saito的擴(kuò)大仿射根系與橢圓李代數(shù)的深入聯(lián)系。

獲得的進(jìn)展包括：1.在三角范疇上發(fā)現(xiàn)了一種內(nèi)蘊(yùn)對(duì)稱，這種對(duì)稱給出了一個(gè)無(wú)限維李代數(shù)結(jié)構(gòu)，在導(dǎo)出范疇上成功地實(shí)現(xiàn)了一切可對(duì)稱化Kac-Moody李代數(shù)的結(jié)構(gòu)。2.由tubular代數(shù)表示的導(dǎo)出范疇精確實(shí)現(xiàn)了K.Saito的橢圓李代數(shù)的整體構(gòu)造、結(jié)構(gòu)常數(shù)和Chevalley整形式。發(fā)現(xiàn)了代數(shù)表示論與幾何奇點(diǎn)理論在李代數(shù)架構(gòu)下的精確聯(lián)系，并完整回答了I.Frenkel的一個(gè)公開問(wèn)題。3.對(duì)double Ringel-Hall代數(shù)做出了系統(tǒng)徹底的研究，包括BGP反射函子導(dǎo)出辮子群對(duì)量子群的作用，Double Ringel-Hall代數(shù)作為廣義Kac-Moody李代數(shù)的量子包絡(luò)代數(shù)的實(shí)現(xiàn)模型，給出quiver表示的Kac定理的一個(gè)全新證明，發(fā)現(xiàn)Ringel-Hall代數(shù)和Kac猜想的深刻聯(lián)系。本項(xiàng)目的成果在國(guó)際上有極大影響：十篇代表論文在SCI網(wǎng)絡(luò)版中被引用60次，其中他引27次；在四屆國(guó)際代數(shù)表示論大會(huì)上做一小時(shí)特邀報(bào)告；成果入選AMS的Featured Review等。

主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)： 

（1） 由三角范疇和導(dǎo)出范疇實(shí)現(xiàn)整體量子群和李代數(shù)，是由論文[7]的工作開始的，現(xiàn)在已成為國(guó)際研究的一個(gè)前沿。Ringel的Hall代數(shù)方法、Lusztig的Perverse Sheaf方法，都是量子群或李代數(shù)正部分的實(shí)現(xiàn)，所以，尋找量子群和李代數(shù)的整體實(shí)現(xiàn)是一個(gè)長(zhǎng)期公開難題。論文[1]就是在三角范疇上整體實(shí)現(xiàn)了Kac-Moody李代數(shù)。本發(fā)現(xiàn)點(diǎn)屬于學(xué)科分類1和2，對(duì)應(yīng)十篇代表論文中的[1]和[7]。

（2）只有在仿射型時(shí)，頂點(diǎn)算子代數(shù)作為精確模型，一般型的Kac-Moody李代數(shù)沒有實(shí)現(xiàn)模型。Kac提出：給出一般型的Kac-Moody李代數(shù)的實(shí)現(xiàn)模型是整個(gè)理論中的最基本的公開問(wèn)題。論文[1]在三角范疇水平上精確實(shí)現(xiàn)了可對(duì)稱化的一般型Kac-Moody李代數(shù)，正面回答了這個(gè)問(wèn)題。本發(fā)現(xiàn)點(diǎn)屬于學(xué)科分類1和2，對(duì)應(yīng)十篇代表論文中的[1]。

（3）論文[1]和[7]的工作表明，在三角范疇內(nèi)部，存在著普遍對(duì)稱性。這種對(duì)稱性可用Jacobi等式反映出來(lái)。對(duì)應(yīng)于一類典型的三角范疇得到Kac-Moody李代數(shù)的實(shí)現(xiàn)，同時(shí)還存在著其它類型的三角范疇，這預(yù)示著會(huì)有重要的無(wú)限維非Kac-Moody型的李代數(shù)由此產(chǎn)生。本發(fā)現(xiàn)點(diǎn)屬于學(xué)科分類1和2，對(duì)應(yīng)十篇代表論文中的[1]和[2]。

（4）非Kac-Moody型的李代數(shù)的第一個(gè)非平凡情形就是K.Saito的橢圓型李代數(shù)。由tubular代數(shù)的導(dǎo)出范疇成功實(shí)現(xiàn)了這一李代數(shù)的整體構(gòu)造。在K.Saito的本原理論的系統(tǒng)綱領(lǐng)中,本項(xiàng)目組完成了橢圓型仿射根系與奇點(diǎn)理論的范疇化模型。本發(fā)現(xiàn)點(diǎn)屬于學(xué)科分類1和2，對(duì)應(yīng)十篇代表論文中的[2]。

（5）建立了Hall代數(shù)的Drinfeld Double，得到了antipode公式。由此將代數(shù)表示論的工具應(yīng)用于李理論和量子群的研究，完成和發(fā)現(xiàn)了辮子群對(duì)exceptional序列的作用導(dǎo)出了量子群中根向量的算法，quiver表示的BGP反射函子導(dǎo)出了量子群中Lusztig對(duì)稱子及其基本性質(zhì)。本發(fā)現(xiàn)點(diǎn)屬于學(xué)科分類1和3，對(duì)應(yīng)十篇代表論文中的[3]、[5]、[6]、[8]、[9]和[10]。

（6）反過(guò)來(lái)，量子群和Hall代數(shù)的可積高權(quán)表示的Weyl-Kac特征公式，可以應(yīng)用于代數(shù)表示論中quiver和遺傳代數(shù)表示的研究。本項(xiàng)目組為遺傳代數(shù)表示的Kac定理提供了一個(gè)全新的觀察角度和證明方法，發(fā)現(xiàn)了Kac猜想與Hall代數(shù)的精確聯(lián)系。本發(fā)現(xiàn)點(diǎn)屬于學(xué)科分類1和2，對(duì)應(yīng)十篇代表論文中的[3]和[4]。

總之，肖彭鄧林的創(chuàng)新之處是，充分利用代數(shù)表示論的最新成就和技巧對(duì)李理論的應(yīng)用和滲透，利用Hall代數(shù)和三角范疇對(duì)李代數(shù)和量子群的整體實(shí)現(xiàn)，是李表示論方面的一個(gè)新進(jìn)展。

主要完成人：

1.  肖杰

1.用導(dǎo)出范疇和三角范疇對(duì)李代數(shù)和量子群實(shí)現(xiàn)的研究；2.Double Ringel-Hall 代數(shù)的系統(tǒng)研究。對(duì)主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)中(1),(2),(3),(5),(6)做出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn),在該項(xiàng)研究中的工作量占本人工作量的百分之八十.主要貢獻(xiàn)見代表論文[1]、[3]、[4]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]。

2.  彭聯(lián)剛

建立了2-周期三角范疇上的Ringel-Hall 李代數(shù)理論，利用導(dǎo)出范疇的根范疇實(shí)現(xiàn)了所有可對(duì)稱化的Kac-Moody代數(shù)和K.Saito等人的D4,E6,E7,E8型的橢圓李代數(shù)。對(duì)主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)中(1),(2),(3),(4)做出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn),在該項(xiàng)研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要貢獻(xiàn)見代表性論文[1]、[2]、[7]。

3.  鄧邦明

對(duì)Double Ringel-Hall 代數(shù)作為量子群精確模型的系統(tǒng)研究；循環(huán)quiver表示與A型仿射量子群典范基的構(gòu)造。對(duì)主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)中(5),(6)做出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn),在該項(xiàng)研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要貢獻(xiàn)見代表論文[3]、[4]、[5]、[9]。

4.  林亞南

證明了D4,E6,E7,E8型的橢圓李代數(shù)可以經(jīng)過(guò)Ringel-Hall代數(shù)由tubular代數(shù)的導(dǎo)出范疇得到整體實(shí)現(xiàn)。對(duì)主要發(fā)現(xiàn)點(diǎn)中(4)做出了創(chuàng)造性貢獻(xiàn),在該項(xiàng)研究中的工作量占本人工作量的百分之八十。主要貢獻(xiàn)見代表性論文[2]。

10篇代表性論文： 

1.   Triangulated categories and Kac-Moody algebras / Invent.Math.

2.   Elliptic Lie algebras and tubular algebras / Advances in Mathematics

3.   On double Ringel-Hall algebras / Journal of Algebra

4.   A new approach to Kacs theorem on representations of valued quivers/ Math. Z

5.   Monomial bases for quantum affine SLn / Advances in mathematics

6.   Drinfeld double and Ringel-Green theory of Hall algebras /Journal of Algebra

7.   Root categories and simple Lie algebras / Journal of Algebra,

8.   On Ringel-Hall algebras of tame hereditary algebras/ Algebras and Representation Theory

9.   Ringel-Hall algebras and Lusztigs symmetries / Journal of Algebra

10.  Exceptional sequences in Hall algebras and quantumgroups / Compositio Math