當(dāng)軸心受壓時(shí)，有 ，再將方程（2）兩邊同時(shí)除以，展開后則方程（2）成為

                  (3)

這就是L形鋼異型柱在軸心受壓情況下的穩(wěn)定方程，它是關(guān)于壓力P的一元三次方程。我們將根據(jù)一元三次方程根的性質(zhì)，求解它的根。

2 換算長(zhǎng)細(xì)比

由文獻(xiàn)[1]我們知道，方程（3）是齊次方程（4）的特征方程。

         (4)

將方程（4）寫成如下形式：

令：   

得：　　　　　　　　　　　　　（５）

因?yàn)?IMG onmousewheel="return bbimg(this)" height=21 src="/Article/UploadFiles/200706/20070604094803171.gif" width=16 onload=javascript:resizepic(this) border=0>為對(duì)角陣，且各主元素都大于零，而，所以矩陣、的各階順序主子式的行列式均大于零，且矩陣、均為實(shí)對(duì)稱矩陣，根據(jù)線性代數(shù)有關(guān)定理可知、均為正定矩陣，L形鋼異形柱軸心受壓承載力是正定系統(tǒng)。類比機(jī)械振動(dòng)理論問(wèn)題，其中為系統(tǒng)的剛度矩陣， 為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，、都為正定矩陣，則由解出的個(gè) 的值，即、矩陣對(duì)的廣義特征值均為正實(shí)數(shù)，且互不相等。由此得出，本文方程 的根是、矩陣對(duì)的廣義特征值 ，展開后一元三次方程（3）的根是三個(gè)正的互不相等的實(shí)數(shù)。求解如下。

令：   

                    （6）

于是方程（3）就可以簡(jiǎn)寫為：

            （7）

再令 ，方程（7）就可以表示為：

          （8）

令：      

所以，方程（8）就可以表示為：                      　　   （9）

根據(jù)本文所研究的問(wèn)題，可以證明

                                 　           　　     （10）

                          （11）

由此，我們利用卡丹公式的根的三角函數(shù)表達(dá)形式，就可以得出一元三次方程（9）的三個(gè)根 、 、 為：

式中：                            （13）

所以，一元三次方程（3）的三個(gè)根 、 、 為：

                              （14）

由于、、為三個(gè)互不相等的正實(shí)根，因此，L形鋼異形柱在軸心受壓情況下的臨界力的理論解為： 。下面比較、、三個(gè)力的大小：

通過(guò)分析可知： ，，

， ，， 

、且

且　　又

即

即L形鋼異形柱在軸心受壓情況下的穩(wěn)定臨界力的理論解為：

　　　　（15）

若定義：                         （16）

式中 為柱換算長(zhǎng)細(xì)比，結(jié)合（15）式，并將（6）、（13）等參數(shù)代入，再 令

      （17）

則得：     （18）

這就是L形截面柱換算長(zhǎng)細(xì)比。

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