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媒體報(bào)道（一）：

中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的研究員：李文林

主持人：今天我們請來了數(shù)學(xué)專家介紹數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)背景和就業(yè)前景�，F(xiàn)在要給各位做一個(gè)介紹，此刻坐在我身邊的就是中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的研究員李文林先生，歡迎您。

李文林：觀眾朋友大家好。

主持人：歡迎您來到我們節(jié)目當(dāng)中，我們要和李文林先生聊一聊和數(shù)學(xué)有關(guān)的話題，今天我們談的都是數(shù)學(xué)專業(yè)的情況，我想請教您，您在當(dāng)時(shí)考大學(xué)的時(shí)候是不是真的就一門心思就想學(xué)數(shù)學(xué)。

李文林：我這個(gè)情況有點(diǎn)波折，我第一志愿填報(bào)的是中國科技大學(xué)的近代物理系，當(dāng)年可能是因?yàn)榭歼@個(gè)學(xué)校這個(gè)系的人數(shù)比較多，也可能因?yàn)槲业母呖汲煽償?shù)學(xué)比較突出，我最終被錄取在中國科大的數(shù)學(xué)系。因?yàn)槲冶緛韺?shù)學(xué)就很感興趣，所以在科技大學(xué)數(shù)學(xué)系這樣一個(gè)良好的數(shù)學(xué)環(huán)境下面，我很快就進(jìn)一步了解、提高了對數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識。

主持人：當(dāng)時(shí)華羅庚是不是你們的系主任？

李文林：我們的系主任。

主持人：那個(gè)時(shí)候你心里面崇拜他嗎？

李文林：那當(dāng)然，因?yàn)槿A羅庚是全世界著名的數(shù)學(xué)家，而且華羅庚是江蘇金壇人，是老鄉(xiāng)，當(dāng)然是比較崇拜的。

主持人：后來一生都和數(shù)學(xué)研究結(jié)緣在一起，會不會跟當(dāng)時(shí)學(xué)校的整個(gè)氛圍，包括和很多知名的數(shù)學(xué)家當(dāng)導(dǎo)師息息相關(guān)。

李文林：當(dāng)時(shí)有一個(gè)很好的條件就是中科院有很多數(shù)學(xué)家親自到科大去授課，比如說華羅庚教授等等都是親自到數(shù)學(xué)系給我們上課。

主持人：我想很多電視機(jī)前的觀眾朋友和我一樣好奇，我們數(shù)學(xué)系都學(xué)些什么，我們在中學(xué)接觸過幾何、代數(shù)，大學(xué)里可能有微積分、概率等等，如果繼續(xù)學(xué)的話究竟還可以去學(xué)什么樣的內(nèi)容。

李文林：數(shù)學(xué)經(jīng)過兩千多年的發(fā)展已經(jīng)是一棵根深葉茂的大樹，在高層學(xué)校里還是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，打基礎(chǔ)。在我們那時(shí)候我們要學(xué)微積分，要進(jìn)一步的系統(tǒng)的深入學(xué)習(xí)微積分，還有線性代數(shù)，還有概論，拓?fù)洹⒑瘮?shù)、方程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算方法等等。有的學(xué)校可能還要開一些抽象代數(shù)等等。

主持人：對于我們這些非數(shù)學(xué)專業(yè)的人來說，聽著您剛才介紹的學(xué)科門類都覺得非常的新鮮，那學(xué)了那么多門課現(xiàn)在回過頭來看您覺得在大學(xué)期間的哪一門課會讓您終身受益無窮，對未來的研究工作十分有幫助。

李文林：當(dāng)時(shí)在科大吳院士給我們這個(gè)班親自講授微積分，也叫數(shù)學(xué)分析，這個(gè)課講了三年，我想這個(gè)課程對于奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維對我們來講都是有決定性意義。當(dāng)然還有一些其他的課程也是終身受益的，比如說華羅庚教授還給我們開了一個(gè)函數(shù)論，像應(yīng)老師給我們講的函數(shù)論，誠院士給我們講的概論這些課程對我們來講都是終身受益。

主持人：學(xué)完了大學(xué)本科四年有沒有考慮過自己未來向什么方向去發(fā)展？

李文林：當(dāng)時(shí)我想我個(gè)人希望有機(jī)會從事數(shù)學(xué)研究。

主持人：那個(gè)時(shí)候已經(jīng)是很堅(jiān)定的信念。

李文林：談不上很堅(jiān)定，但是也是比較堅(jiān)定的意向。

主持人：后來有沒有如愿以償。

李文林：后來我大學(xué)畢業(yè)直接分配到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所，應(yīng)該說在這個(gè)道路上在畢業(yè)以后就能夠如愿以償。

主持人：在前面短片當(dāng)中我們看到其實(shí)學(xué)數(shù)學(xué)的人在未來改行的人還不在少數(shù)，當(dāng)時(shí)您有沒有想過改行干別的。

李文林：我想數(shù)學(xué)既是一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科又是一個(gè)工具，我覺得學(xué)好數(shù)學(xué)也可以到別的行業(yè)施展伸手，不過當(dāng)時(shí)我大學(xué)畢業(yè)科大數(shù)學(xué)系對基礎(chǔ)培養(yǎng)這方面的考慮還是比較強(qiáng)烈，我們這些學(xué)生當(dāng)時(shí)都希望能夠直接從事數(shù)學(xué)研究，當(dāng)然這些也包括應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究。

主持人：很多人都說數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)完了以后可能會影響未來職業(yè)的選擇，你認(rèn)同他們的這種說法嗎？

李文林：我認(rèn)為這個(gè)看法是對的，因?yàn)閿?shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)科學(xué)不僅僅是自然科學(xué)跟技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)跟社會科學(xué)上現(xiàn)在也越來越廣泛的應(yīng)用數(shù)學(xué)。在大學(xué)里學(xué)了數(shù)學(xué)畢業(yè)以后可以選擇的空間比較大，而且就業(yè)面也是比較寬的。

主持人：一般會有什么樣的選擇？

李文林：首先當(dāng)然是到不同科研機(jī)構(gòu)里從事數(shù)學(xué)跟數(shù)學(xué)應(yīng)用的研究，另外像信息技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、金融、管理，甚至包括氣象這樣的一些部門，據(jù)我了解還有國防的高新技術(shù)部門，數(shù)學(xué)的專業(yè)人才都是大有可為，很有用武之地的。我可以舉些例子，我們剛才講到的經(jīng)濟(jì)、金融，我們研究院王院士是搞數(shù)論的，他有一個(gè)學(xué)生到的美國，后來給他寫信說在美國是搞金融，在華爾街搞得非常成功，我想他原來是學(xué)數(shù)學(xué)的，我們的王選院士是信息技術(shù)方面，但是他是北大數(shù)學(xué)系出身的。我是六十年代到數(shù)學(xué)所，在五十年代曾經(jīng)有很多學(xué)數(shù)學(xué)的人轉(zhuǎn)行到國防部門，像導(dǎo)彈、衛(wèi)星、核武器這些研究，我們數(shù)學(xué)輸出過很多數(shù)學(xué)家到他們那去從事開發(fā)，技術(shù)的研究，而且做出了成就。

主持人：還是應(yīng)驗(yàn)了原來那句老話學(xué)好數(shù)理化走遍天下都不怕，我們看到您一生都和數(shù)學(xué)打交道，肯定發(fā)現(xiàn)了別人感受不到的魅力，您覺得研究數(shù)學(xué)最大的樂趣是什么？

李文林：我想從數(shù)學(xué)是什么說起，數(shù)學(xué)的研究對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，簡而言之就是數(shù)和形，可謂說是無處不在，數(shù)學(xué)跟我們的整個(gè)科學(xué)技術(shù)發(fā)展息息相關(guān)，而且數(shù)學(xué)跟我們的生活也息息相關(guān)。比方說我們要看病，給我們做醫(yī)療診斷的儀器，可以說沒有數(shù)學(xué)就沒有CT儀。我們每天關(guān)注天氣預(yù)報(bào)，現(xiàn)在很大程度上依靠數(shù)學(xué)的計(jì)算，我想數(shù)學(xué)的用處是非常廣泛。正因?yàn)閿?shù)學(xué)研究數(shù)理形，千變?nèi)f化的數(shù)理形使得數(shù)學(xué)研究本身變得魅力無窮。我可以這么比方，數(shù)學(xué)就像是有一個(gè)抽象的圍墻的花園，如果你站到外面看有的時(shí)候你會覺得它有一點(diǎn)抽象，有一點(diǎn)深?yuàn)W，甚至有時(shí)候覺得有點(diǎn)枯燥，但是只要你走進(jìn)這個(gè)門，你就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的花園是百花齊放，百花爭艷，而且是氣象萬千。我們聽到的很多問題像什么疑難猜想都是數(shù)學(xué)花園里的奇葩。另外，我想數(shù)學(xué)不僅是大有用處，而且數(shù)學(xué)研究本身我想就是一種藝術(shù)，這個(gè)藝術(shù)就是數(shù)跟形的藝術(shù)，畫家是畫畫，音樂家是作曲，但是數(shù)學(xué)家是研究數(shù)跟形的藝術(shù)，我想這個(gè)是其樂無窮。

主持人：看了您的笑容就知道真的是其樂無窮，剛才您提到了龐加萊猜想，我想在剛剛過去的六月份應(yīng)該是讓我們對數(shù)學(xué)界印象非常深的申請，那就是曹懷東教授和中山大學(xué)的朱熹平教授告訴世人，說我們已經(jīng)破解了百年數(shù)學(xué)難題龐加萊猜想，我記得在我很小的時(shí)候讀過徐馳的報(bào)告文學(xué)，哥德巴赫猜想，當(dāng)時(shí)把它說成是數(shù)學(xué)王冠上的一顆明珠，那么龐加萊猜想是不是同樣也是一顆閃閃發(fā)光的明珠。

李文林：龐加萊猜想是在二十一世紀(jì)初的時(shí)候被美國的克萊研究所確定為七大數(shù)學(xué)問題，對全世界數(shù)學(xué)家來懸獎(jiǎng)的，龐加萊猜想是其中一個(gè)，就說明這個(gè)猜想的意義和重要性。

主持人：在六月份其實(shí)還有一件和數(shù)學(xué)有關(guān)的事情，就是吳文俊院士獲得了邵逸夫獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)，當(dāng)越來越多的中國人身影出現(xiàn)在解決數(shù)學(xué)皇冠上明珠難題的過程當(dāng)中，您對這些希望報(bào)考數(shù)學(xué)專業(yè)的考生有沒有什么特別深切的期望和期待。

李文林：我想中國人民是擅長數(shù)學(xué)的一個(gè)民族，中國古代有很優(yōu)秀的悠久的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，到了名朝以后我們的數(shù)學(xué)落后了，但是在上一個(gè)世紀(jì)初開始我們中國的幾代數(shù)學(xué)家都在努力的拼搏奮斗，希望趕超世界先進(jìn)水平，那么特別是到了上個(gè)世紀(jì)九十年代以后，由于中國的改革開放，中國數(shù)學(xué)家通過走出去請進(jìn)來，在趕超世界數(shù)學(xué)先進(jìn)水平的道路上取得了相當(dāng)大的進(jìn)步，比方你剛才說到的陳景潤在哥德巴赫猜想上的貢獻(xiàn)四十年到現(xiàn)在還沒有人能夠超越，我想中國的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科很難去精確的預(yù)測具體成果，但是有一點(diǎn)可以樂觀的估計(jì)到就是中國數(shù)學(xué)家在不愿的將來實(shí)現(xiàn)把我們中國建成數(shù)學(xué)強(qiáng)國這樣一個(gè)宏偉目標(biāo)。我覺得我們年輕的學(xué)生如果能夠有幸成為這個(gè)光榮科學(xué)隊(duì)伍里的一員，我覺得這是驕傲的。

主持人：我想這是大家共同的期待，也讓我們大家為這個(gè)目標(biāo)共同努力，特別感謝李先生來到我們直播現(xiàn)場。

文章來源：《央視國際 www.cctv.com》2006年07月05日

媒體報(bào)道（二）：

追尋數(shù)學(xué)大國的歷史脈絡(luò)——數(shù)學(xué)史專家李文林談中國數(shù)學(xué)發(fā)展

有位著名的數(shù)學(xué)家說過，“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對自然科學(xué)家、社會科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家都有著深遠(yuǎn)的影響”。

對于數(shù)學(xué)史有著深厚研究的中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員李文林認(rèn)為，數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現(xiàn)代文化的主要力量。因而，數(shù)學(xué)史是人類文明史最重要的組成部分。

近年來，李文林研究員執(zhí)著地在中國數(shù)學(xué)史領(lǐng)域求索，曾發(fā)表過大量關(guān)于數(shù)學(xué)史的研究論文。他專門為大學(xué)學(xué)生撰寫的《數(shù)學(xué)史教程》，被廣泛地應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)史學(xué)科的教學(xué)。他是上一屆中國數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)史分會的秘書長。

不久前，李文林研究員還參與了一項(xiàng)重要的研究工作。中國首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)獲得者、著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生設(shè)立了“數(shù)學(xué)與天文絲路基金”，用于資助年輕學(xué)者研究古代中國與世界進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的歷史，揭示部分東方數(shù)學(xué)成果如何從中國經(jīng)“絲綢之路”傳往歐洲之謎。該研究旨在糾正世界科技界對中國數(shù)學(xué)認(rèn)識上存在的偏頗，通過對中國古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的進(jìn)一步發(fā)掘，探明近代科學(xué)的源流，鼓舞中國人在數(shù)學(xué)研究上的自信心和發(fā)憤圖強(qiáng)的勇氣。李文林作為該學(xué)術(shù)委員會組長參與了很多工作。

日前，本報(bào)記者采訪了李文林研究員。李文林把中國數(shù)學(xué)史稱為波瀾壯闊的中華文明史中最亮麗的篇章。在李文林的娓娓敘述中，中國數(shù)學(xué)對于世界的卓越貢獻(xiàn)，如盛開著的中國文明之花，一朵朵展現(xiàn)開來。

古代數(shù)學(xué)領(lǐng)跑世界

中國數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，14世紀(jì)以前一直是世界上數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá)的國家，出現(xiàn)過許多杰出數(shù)學(xué)家，取得了很多輝煌成就。

中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展，在古代著作《世本》中就已提到黃帝使“隸首作算數(shù)”，但這只是傳說。在殷商甲骨文記錄中，中國已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時(shí)代，又開始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位制籌算記數(shù)�；I算作為中國古代的計(jì)算工具，是中國古代數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻(xiàn)。

關(guān)于幾何學(xué)，《史記》“夏本紀(jì)”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”�！耙�(guī)”是圓規(guī)，“矩”是直角尺，“準(zhǔn)繩”則是確定鉛垂方向的器械。這些都說明了早期幾何學(xué)的應(yīng)用。從戰(zhàn)國時(shí)代的著作《考工記》中也可以看到與手工業(yè)制作有關(guān)的實(shí)用幾何知識。

戰(zhàn)國(公元前475年～前221年)諸子百家與希臘雅典學(xué)派時(shí)代相當(dāng)�！鞍偌摇本褪嵌喾N不同的學(xué)派，其中的“墨家”與“名家”，其著作包含有理論數(shù)學(xué)的萌芽。如《墨經(jīng)》(約公元前4世紀(jì)著作)中討論了某些形式邏輯的法則，并在此基礎(chǔ)上提出了一系列數(shù)學(xué)概念的抽象定義。

在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，《周髀算經(jīng)》是最早的一部�！吨荀滤憬�(jīng)》成書年代據(jù)考應(yīng)不晚于公元前2世紀(jì)西漢時(shí)期，但書中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識，有的可以追溯到西周(公元前11世紀(jì)～前8世紀(jì))。從數(shù)學(xué)上看，《周髀算經(jīng)》主要的成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。

《九章算術(shù)》是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作。這部著作的成書年代，根據(jù)考證，至遲在公元前1世紀(jì)，但其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門課程“六藝”中有一門是“九數(shù)”。劉徽《九章算術(shù)注》“序”中就稱《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼、耿壽昌等人刪補(bǔ)。

《九章算術(shù)》采用問題集的形式，全書246個(gè)問題，分成九章，依次為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。其中所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的。算術(shù)方面，“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則，“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，“盈不足”術(shù)是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。代數(shù)方面，《九章算術(shù)》的成就是具有世界意義的，“方程術(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法；“正負(fù)術(shù)”是《九章算術(shù)》在代數(shù)方面的另一項(xiàng)突出貢獻(xiàn)，即負(fù)數(shù)的引進(jìn)；“開方術(shù)”即“少廣”章的“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法；在幾何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題，其中“方田”章討論面積計(jì)算，“商功”章討論體積計(jì)算，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。

《九章算術(shù)》的幾何部分主要是實(shí)用幾何。但稍后的魏晉南北朝，卻出現(xiàn)了證明《九章算術(shù)》中那些算法的努力，從而引發(fā)了中國古典幾何中最閃亮的篇章。

從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，但同時(shí)也是思想相對活躍的時(shí)期。在長期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辯之風(fēng)再起。在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢，許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是要尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這方面的先鋒，最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。他們的工作，使魏晉南北朝成為中國數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期。

《隋書》“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時(shí)人，并于公元263年撰《九章算術(shù)注》。《九章算術(shù)注》包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨(dú)立的著作，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位。

劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論。劉徽在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”注中，提出割圓術(shù)作為計(jì)算圓的周長、面積以及圓周率的基礎(chǔ)，使劉徽成為中算史上第一位建立可靠的理論來推算圓周率的數(shù)學(xué)家。在體積理論方面，像阿基米德一樣，劉徽傾力于面積與體積公式的推證，并取得了超越時(shí)代的成果。

劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期被祖沖之和他的兒子推進(jìn)和發(fā)展了。

祖沖之(公元429年—500年)活躍于南朝宋、齊兩代，曾做過南徐州(今鎮(zhèn)江)從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。《南齊史》“祖沖之傳”說他“探異今古”，“革新變舊”。

球體積的推導(dǎo)和圓周率的計(jì)算是祖沖之引以為榮的兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書》中。祖沖之算出了圓周率數(shù)值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。祖沖之和他兒子關(guān)于球體積的推導(dǎo)被稱之為“祖氏原理”。祖氏原理在西方文獻(xiàn)中稱“卡瓦列利原理”，1635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(B.Cavalieri)獨(dú)立提出，對微積分的建立有重要影響。

之后的大唐盛世是中國封建社會最繁榮的時(shí)代，可是在數(shù)學(xué)方面，整個(gè)唐代卻沒有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時(shí)期相媲美的數(shù)學(xué)大家。

中國古典數(shù)學(xué)的下一個(gè)高潮宋元數(shù)學(xué)，是創(chuàng)造算法的英雄時(shí)代。

到了宋代，雕版印書的發(fā)達(dá)特別是活字印刷的發(fā)明，則給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來了福音。事實(shí)上，整個(gè)宋元時(shí)期(公元960年—1368年)，重新統(tǒng)一了的中國封建社會發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化。這一時(shí)期涌現(xiàn)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家中最卓越的代表，如通常稱“宋元四大家”的楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位；而這一時(shí)期印刷出版、記載著中國古典數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書，也是世界文化的重要遺產(chǎn)。

賈憲是北宋人，約公元1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》著作，原書丟失，但其主要內(nèi)容被南宋數(shù)學(xué)家楊輝著《詳解九章算法》(1261年)摘錄，因能傳世。賈憲的增乘開方法，是一個(gè)非常有效和高度機(jī)械化的算法，可適用于開任意高次方。

秦九韶(約公元1202年—1261年)在他的代表著作《數(shù)書九章》中，將增乘開方法推廣到了高次方程的一般情形，稱為“正負(fù)開方術(shù)”。秦九韶還有“大衍總數(shù)術(shù)”，即一次同余式的一般解法。這兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。

秦九韶的大衍總數(shù)術(shù)，是《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”題算法的推廣。從“孫子問題”到“大衍總數(shù)術(shù)”關(guān)于一次同余式求解的研究，形成了中國古典數(shù)學(xué)中饒有特色的部分。這方面的研究，可能是受到了天文歷法問題的推動(dòng)。中國古典數(shù)學(xué)的發(fā)展與天文歷法有特殊的聯(lián)系，另一個(gè)突出的例子是內(nèi)插法的發(fā)展。

古代天算家由于編制歷法而需要確定日月五星等天體的視運(yùn)動(dòng)，當(dāng)他們觀察出天體運(yùn)動(dòng)的不均勻性時(shí)，內(nèi)插法便應(yīng)運(yùn)產(chǎn)生。早在東漢時(shí)期，劉洪《乾象歷》就使用了一次內(nèi)插公式來計(jì)算月行度數(shù)。公元600年劉焊在《皇極歷》中使用了二次內(nèi)插公式來推算日月五星的經(jīng)行度數(shù)。公元727年，僧一行又在他的《大衍歷》中將劉焊的公式推廣到自變量不等間距的情形。但由于天體運(yùn)動(dòng)的加速度也不均勻，二次內(nèi)插仍不夠精密。隨著歷法的進(jìn)步，對數(shù)學(xué)工具也提出了更高的要求。到了宋元時(shí)代，便出現(xiàn)了高次內(nèi)插法。

最先獲得一般高次內(nèi)插公式的數(shù)學(xué)家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有《算學(xué)啟蒙》(1299年)和《四元玉鑒》(1303年)。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了日本與朝鮮數(shù)學(xué)的發(fā)展�！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最突出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“招差術(shù)”(即高次內(nèi)插法)，“垛積術(shù)”(高階等差級數(shù)求和)以及“四元術(shù)”(多元高次聯(lián)立方程組與消元解法)等。

宋元數(shù)學(xué)發(fā)展中一個(gè)最深刻的動(dòng)向是代數(shù)符號化的嘗試，這就是“天元術(shù)”和“四元術(shù)”的發(fā)明。天元術(shù)和四元術(shù)都是用專門的記號來表示未知數(shù)，從而列方程、解方程的方法，它們是代數(shù)學(xué)的重要進(jìn)步。

中國古代數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化數(shù)學(xué)模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數(shù)學(xué)模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)迎頭趕上

自鴉片戰(zhàn)爭以后，西方列強(qiáng)的軍艦與大炮使中國朝野看到了科學(xué)與教育的重要，部分有識之士還逐步認(rèn)識到數(shù)學(xué)對于富國強(qiáng)兵的意義，從而竭力主張改革國內(nèi)數(shù)學(xué)教育，同時(shí)派遣留學(xué)生出國學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)。辛亥革命以后，這兩條途徑得到了較好的結(jié)合，有力地推動(dòng)了中國現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教育的建制。

20世紀(jì)初，在科學(xué)與民主的高漲聲中，中國數(shù)學(xué)家們踏上了學(xué)習(xí)并趕超西方先進(jìn)數(shù)學(xué)的光榮而艱難的歷程。1912年，中國第一個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)系——北京大學(xué)數(shù)學(xué)系成立(當(dāng)時(shí)叫“數(shù)學(xué)門”，1918年改“門”稱“系”)，這是中國現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教育的開端。

20世紀(jì)20年代，是中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的關(guān)鍵時(shí)期。在這一時(shí)期，全國各地大學(xué)紛紛創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)開始著眼于國內(nèi)。除了北京大學(xué)、清華大學(xué)、南開大學(xué)、浙江大學(xué)，在這一時(shí)期成立數(shù)學(xué)系的還有東南大學(xué)(1921年)、北京師范大學(xué)(1922年)、武漢大學(xué)(1922年)、廈門大學(xué)(1923年)、四川大學(xué)(1924年)等等。

伴隨著中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的形成，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究也在中國悄然興起。中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的開拓者們，在發(fā)展現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的同時(shí)，努力拼搏，追趕世界數(shù)學(xué)前沿，至1920年末和1930年，已開始出現(xiàn)一批符合國際水平的研究工作。

1928年，陳建功在日本《帝國科學(xué)院院報(bào)》上發(fā)表論文《關(guān)于具有絕對收斂Fourier級數(shù)的函數(shù)類》，中心結(jié)果是證明了一條關(guān)于三角級數(shù)在區(qū)間上絕對收斂的充要條件。幾乎同時(shí)，G.哈代和J.李特爾伍德在德文雜志《數(shù)學(xué)時(shí)報(bào)》上也發(fā)表了同樣的結(jié)果，因而西方文獻(xiàn)中常稱此結(jié)果為“陳-哈代-李特爾伍德定理”。這標(biāo)志中國數(shù)學(xué)家已能生產(chǎn)國際一流水平的研究成果。

差不多同時(shí)，蘇步青、江澤涵、熊慶來、曾炯之等也在各自領(lǐng)域里作出令國際同行矚目的成果。1928—1930年間，蘇步青在當(dāng)時(shí)處于國際熱門的仿射微分幾何方面引進(jìn)并決定了仿射鑄曲面和旋轉(zhuǎn)曲面。他在這個(gè)領(lǐng)域的另一個(gè)美妙發(fā)現(xiàn)后被命名為“蘇錐面”。江澤涵是將拓?fù)鋵W(xué)引進(jìn)中國的第一人，他本人在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域中最有影響的工作是關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)理論的研究，這在他1930年的研究中已有端倪。江澤涵從1934年起出任北京大學(xué)數(shù)學(xué)系主任。熊慶來“大器晚成”，1931年，已經(jīng)身居清華大學(xué)算學(xué)系主任的熊慶來，再度赴法國龐加萊研究所，兩年后取得法國國家博士學(xué)位。其博士論文《關(guān)于無窮級整函數(shù)與亞純函數(shù)》、引進(jìn)后以他的名字命名的“熊氏無窮級”等，將博雷爾有窮級整函數(shù)論推廣為無窮級情形。

從20世紀(jì)初第一批學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中國留學(xué)生跨出國門，到1930年中國數(shù)學(xué)家的名字在現(xiàn)代數(shù)學(xué)熱門領(lǐng)域的前沿屢屢出現(xiàn)，前后不過30余年，這反映了中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)者們高度的民族自強(qiáng)精神和卓越的科學(xué)創(chuàng)造能力。

這一點(diǎn)，在1930年至1940年中的時(shí)期里有更強(qiáng)烈的體現(xiàn)。這一時(shí)期的大部分時(shí)間，中國是處在抗日戰(zhàn)爭的烽火之中，時(shí)局動(dòng)蕩，生活艱苦。當(dāng)時(shí)一些主要的大學(xué)都遷移到了敵后內(nèi)地。在極端動(dòng)蕩、艱苦的戰(zhàn)時(shí)環(huán)境下，師生們卻表現(xiàn)出抵御外侮、發(fā)展民族科學(xué)的高昂熱情。他們在空襲炸彈的威脅下，照常上課，并舉行各種討論班，同時(shí)堅(jiān)持深入的科學(xué)研究。這一時(shí)期產(chǎn)生了一系列先進(jìn)的數(shù)學(xué)成果，其中最有代表性的是華羅庚、陳省身、許寶的工作。

到40年代后期，又有一批優(yōu)秀的青年數(shù)學(xué)家成長起來，走向國際數(shù)學(xué)的前沿并作出先進(jìn)的成果，其中最有代表性的是吳文俊的工作。吳文俊1940年畢業(yè)于上海交通大學(xué)，1947年赴法國留學(xué)。吳文俊在留學(xué)期間就提出了后來以他的名字命名的“吳示性類”和“吳公式”，有力地推動(dòng)了示性類理論與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展。

經(jīng)過老一輩數(shù)學(xué)家們披荊斬棘的努力，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)從無到有地發(fā)展起來，從1930年開始，不僅有了達(dá)到一定水平的隊(duì)伍，而且有了全國性的學(xué)術(shù)性組織和發(fā)表成果的雜志，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究初具規(guī)模，并呈現(xiàn)上升之勢。

1949年中華人民共和國成立之后，中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新的階段。新中國的數(shù)學(xué)事業(yè)經(jīng)歷了曲折的道路而獲得了巨大的進(jìn)步。這種進(jìn)步主要表現(xiàn)在：建立并完善了獨(dú)立自主的現(xiàn)代數(shù)學(xué)科研與教育體制；形成了一支研究門類齊全、并擁有一批學(xué)術(shù)帶頭人的實(shí)力雄厚的數(shù)學(xué)研究隊(duì)伍；取得了豐富的和先進(jìn)的學(xué)術(shù)成果，其中達(dá)到國際先進(jìn)水平的成果比例不斷提高。改革開放以來，中國數(shù)學(xué)更是進(jìn)入了前所未有的良好的發(fā)展時(shí)期，特別是涌現(xiàn)了一批優(yōu)秀的、活躍于國際數(shù)學(xué)前沿的青年數(shù)學(xué)家。

改革開放以來的20多年是我國數(shù)學(xué)事業(yè)空前發(fā)展的繁榮時(shí)期。中國數(shù)學(xué)的研究隊(duì)伍迅速擴(kuò)大，研究論文和專著成十倍地增長，研究領(lǐng)域和方向發(fā)生了深刻的變化。我國數(shù)學(xué)家不僅在傳統(tǒng)的領(lǐng)域內(nèi)繼續(xù)作出了成績，而且在許多重要的過去空缺的方向以及當(dāng)今世界研究前沿都有重要的貢獻(xiàn)。在世界各地許多大學(xué)的數(shù)學(xué)系里都有中國人任教，特別是在美國，中國數(shù)學(xué)家還在大多數(shù)名校占有重要教職。在許多高水平的國際學(xué)術(shù)會議上都能見到作特邀報(bào)告的中國學(xué)者。在重要的數(shù)學(xué)期刊上，不僅中國人的論著屢見不鮮，而且在引文中，中國人的名字亦頻頻出現(xiàn)。在一些有影響的國際獎(jiǎng)項(xiàng)中，中國人也開始嶄露頭角。

這一切表明，我國的數(shù)學(xué)研究水平比過去有了很大提高，與世界先進(jìn)水平的差距明顯地縮小了，在許多重要分支上都涌現(xiàn)出了一批優(yōu)秀的成果和學(xué)術(shù)帶頭人。中國人在國際數(shù)學(xué)界的地位空前提高了。

李文林研究員表示，中國數(shù)學(xué)的今天，是幾代數(shù)學(xué)家共同拼搏奮斗的結(jié)果。2002年國際數(shù)學(xué)家大會在北京召開，標(biāo)志著中國國際地位的提高與數(shù)學(xué)水平的發(fā)展。他表示相信，在眾多中國科學(xué)家的共同努力下，中國數(shù)學(xué)趕超世界先進(jìn)水平，并在21世紀(jì)成為世界數(shù)學(xué)大國的夢想一定能夠?qū)崿F(xiàn)。

近代數(shù)學(xué)日漸勢微

《四元玉鑒》可以說是宋元數(shù)學(xué)的絕唱。元末以后，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)驟轉(zhuǎn)衰落。整個(gè)明清兩代(1368年—1911年)，不僅未再產(chǎn)生出能與《數(shù)書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在清中葉乾嘉學(xué)派重新發(fā)掘研究以前，“天元術(shù)”、“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹，竟長期失傳，無人通曉。明初開始長達(dá)三百余年的時(shí)期內(nèi)，除了珠算的發(fā)展及與之相關(guān)的著作(如程大位《算法統(tǒng)宗》，1592年)的出現(xiàn)，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究不僅沒有新的創(chuàng)造，反而倒退了。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)自元末以后落后的原因是多方面的�；食穆L的封建社會，在晚期表現(xiàn)出日趨嚴(yán)重的停滯性與腐朽性，數(shù)學(xué)發(fā)展缺乏社會動(dòng)力和思想刺激。元代以后，科舉考試制度中的《明算科》完全廢除，唯以八股取士，數(shù)學(xué)社會地位低下，研究數(shù)學(xué)者沒有出路，自由探討受到束縛甚至遭禁錮。

同時(shí)，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)本身也存在著弱點(diǎn)。籌算系統(tǒng)使用的十進(jìn)位值記數(shù)制是對世界文明的一大貢獻(xiàn)，但籌算本身卻有很大的局限性。在籌算框架內(nèi)發(fā)展起來的半符號代數(shù)“天元術(shù)”與“四元術(shù)”，就不能突破籌算的限制演進(jìn)為徹底的符號代數(shù)�；I式方程運(yùn)算不僅笨拙累贅，而且對有五個(gè)以上未知量的方程組無能為力。另一方面，算法創(chuàng)造是數(shù)學(xué)進(jìn)步的必要因素，但缺乏演繹論證的算法傾向與缺乏算法創(chuàng)造的演繹傾向同樣難以升華為現(xiàn)代數(shù)學(xué)。而無論是籌算數(shù)學(xué)還是演繹幾何，在中國的傳播都由于“天朝帝國”的妄大、自守而顯得困難和緩慢。16、17世紀(jì)，當(dāng)近代數(shù)學(xué)在歐洲蓬勃興起以后，中國數(shù)學(xué)就更明顯地落后了。

從17世紀(jì)初到19世紀(jì)末大約三百年時(shí)間，是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)滯緩發(fā)展和西方數(shù)學(xué)逐漸傳入的過渡時(shí)期，這期間出現(xiàn)了兩次西方數(shù)學(xué)傳播的高潮。

第一次是從17世紀(jì)初到18世紀(jì)初，標(biāo)志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。1606年，中國學(xué)者徐光啟(1562年—1633年)與意大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci)合作完成了歐幾里得《原本》前6卷的中文翻譯，并于翌年(1607年)正式刊刻出版，定名《幾何原本》，中文數(shù)學(xué)名詞“幾何”由此而來。

西方數(shù)學(xué)在中國早期傳播的第二次高潮是從19世紀(jì)中葉開始。除了初等數(shù)學(xué)，這一時(shí)期還傳入了包括解析幾何、微積分、無窮級數(shù)論、概率論等近代數(shù)學(xué)知識。

西方數(shù)學(xué)在中國的早期傳播對中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形成起了一定的作用，但由于當(dāng)時(shí)整個(gè)社會環(huán)境與科學(xué)基礎(chǔ)的限制，總的來說其功效并不顯著。清末數(shù)學(xué)教育的改革仍以初等數(shù)學(xué)為主，即使在所謂“大學(xué)堂”中，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容也沒有超出初等微積分的范圍，并且多半被轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的語言來講授。中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的真正開拓，是在辛亥革命以后，興辦高等數(shù)學(xué)教育是重要標(biāo)志。

文章來源：《科學(xué)時(shí)報(bào)》記者：王學(xué)健 2002-08-20

媒體報(bào)道（三）：

CCTV百家講壇：相識數(shù)學(xué)4 ——二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢

演講人：李文林

講師簡介：中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，在中國算法、微積分與解析幾何史、希爾伯特問題等方面有深入研究，1992年當(dāng)選國際數(shù)學(xué)史委員會委員，1995年4月起任《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》常務(wù)副主編。

內(nèi)容簡介：20世紀(jì)的數(shù)學(xué)，主要的是三塊，三大活動(dòng)，一塊就是純粹數(shù)學(xué)的擴(kuò)展，純粹數(shù)學(xué)也是叫做核心數(shù)學(xué)，上級也就是抽象數(shù)學(xué)；第二塊活動(dòng)就是數(shù)學(xué)的空間的應(yīng)用、應(yīng)用數(shù)學(xué)的空前蓬勃發(fā)展；第三塊活動(dòng)就是計(jì)算機(jī)跟數(shù)學(xué)的相互影響，這個(gè)三大活動(dòng)構(gòu)成了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的主要線索，概括了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

全文：

我想20世紀(jì)的數(shù)學(xué)，主要的是三塊，三大活動(dòng)，一塊就是純粹數(shù)學(xué)的擴(kuò)展，純粹數(shù)學(xué)也是叫做核心數(shù)學(xué)，上級也就是抽象數(shù)學(xué)，第二塊活動(dòng)就是數(shù)學(xué)的空間的應(yīng)用應(yīng)用數(shù)學(xué)的空前蓬勃發(fā)展。第三塊活動(dòng)就是計(jì)算機(jī)跟數(shù)學(xué)的相互影響,這個(gè)三大活動(dòng)構(gòu)成了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的主要線索，我今天主要也就是按照這三大活動(dòng)，來概括20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，其中，我先講純粹數(shù)學(xué)。　

純粹數(shù)學(xué)是19世紀(jì)的遺產(chǎn)，按照羅素，英國大數(shù)學(xué)家哲學(xué)家羅素的說法，就是說，19世紀(jì)，有一個(gè)可以跟蒸汽機(jī)的使用等等電氣的使用可以相提并論的一頂桂冠，就是說，純粹數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)，他認(rèn)為，純粹數(shù)學(xué)主要是19世紀(jì)的產(chǎn)物20世紀(jì)，純粹數(shù)學(xué)得到了巨大的發(fā)展，純粹數(shù)學(xué)這個(gè)前沿在20世紀(jì)不斷的挺進(jìn)而且，產(chǎn)生出很多令人驚異的成就。　

比方說，我們大家都知道的哄動(dòng)一時(shí)費(fèi)馬大定理的證明，這是300多年了，一直在前幾個(gè)世紀(jì)都沒有解決，但是，20世紀(jì)解決了，還有四色定理也是有100多年的歷史都沒有解決，但是在20世紀(jì)被解決了。那么，其他大家可能有的聽得比較少的向連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在某種意義上，在一定程度上，也在20世紀(jì)被解決了,還有很復(fù)雜的節(jié)是有限單群的分類定理，也是20世紀(jì)很大的成果等等，所以，20世紀(jì)引出來一系列很驚人的成果。　

跟19世紀(jì)相比，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，表現(xiàn)下面這樣一個(gè)特征跟趨勢。

也就是首先，就是說，更高的抽象化，第二個(gè)特征或者叫趨勢，更強(qiáng)的統(tǒng)一性，第三個(gè)趨勢是更深入地對基礎(chǔ)的探討。我后面兩個(gè)特征，實(shí)際上，本質(zhì)上也是屬于抽象化，所以我今天重點(diǎn)還是談?wù)?0世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)里面更高的抽象化這樣一個(gè)趨勢，那么，抽象化本來是數(shù)學(xué)的固定的特征，那么，20世紀(jì)的抽象化它跟以前的數(shù)學(xué)發(fā)展有什么不同呢？我想20世紀(jì)數(shù)學(xué)的抽象化主要是受了兩大因素的推動(dòng)，一個(gè)就是集合論的觀點(diǎn)，還有一個(gè)是公理化的方法，這個(gè)是跟過去的時(shí)代是不一樣的。那么，集合論的觀點(diǎn)，我們知道，集合論本來是德國數(shù)學(xué)家康托，為了使得分析微積分嚴(yán)格化，而產(chǎn)生的這樣一個(gè)分支，那么，康托是主要的代表人物，但是，康托的集合，主要是指的數(shù)的集合，或者點(diǎn)的集合，那么，后來呢，經(jīng)過其他數(shù)學(xué)家，比如說，法國的弗萊歇，他們把集合論加以發(fā)展，發(fā)展成推廣成為任意元素，這個(gè)集合的元素可以是任意的對象這樣一個(gè)抽象的對象，就產(chǎn)生了一般的集合論，抽象的集合論，這個(gè)抽象的集合論，后來被發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的一個(gè)很有用的語言。它可以在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域里邊作為一種通用的語言來描述數(shù)學(xué)的一些定理，來建立一些概念。　

另外一個(gè)是公理化方法，我剛才說，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)抽象化趨勢受第二個(gè)推動(dòng)的大的因素，公理化方法，德國數(shù)學(xué)家，20世紀(jì)也應(yīng)該算是可以數(shù)在前頭的一位，赫爾曼外伊他說過這樣一句話，他在總結(jié)20世紀(jì)上半世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的時(shí)候，他說過這樣一句話，他說，20世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)十分突出的方面，是公理化方法所起的作用的極度增長，以前他說，公理化僅僅是用來闡明我們所建立的理論的基礎(chǔ)。但是，現(xiàn)在，他卻成為具體數(shù)學(xué)研究的工具。這是赫爾曼外伊的一個(gè)看法。　

那么，20世紀(jì)的公理化方法的奠基人是德國數(shù)學(xué)家希爾伯特，希爾伯特大家都可能知道他在1900年國際數(shù)學(xué)家巴黎大會上，提出23個(gè)數(shù)學(xué)問題，因?yàn)檫@

個(gè)很有名，但是，希爾伯特有很大的重大的貢獻(xiàn)，其中有一個(gè)就是他提出來，新的公理化方法，那么，公理化方法在歐幾里得幾何里面已經(jīng)有了，在公元前三世紀(jì)就已經(jīng)有了，整個(gè)系統(tǒng)是從公理定理開始，然后在這個(gè)基礎(chǔ)上，建立證明推導(dǎo)很多定理，這就是所謂歐幾里得的一個(gè)公理化系統(tǒng)，歐幾里得的公理系統(tǒng)里面有一條公設(shè)叫做第五公設(shè)就是平行公設(shè)，過直線外一點(diǎn)，能夠，而且只能作一條直線，跟已經(jīng)知道的直線平行。這個(gè)公設(shè)在這個(gè)公理系統(tǒng)里面就顯得很特殊，幾千年，數(shù)學(xué)家們一直在問，這條公理，好像他們從直覺上感到跟其他的公理不一樣，他們就希望，就問能不能從其他的公理或者定理來證明這條公理，一兩千年這個(gè)問題沒有解決，可以說兩千年吧，一直到19世紀(jì)才有人發(fā)現(xiàn)這條公理是獨(dú)立的。也就是說你換成另外一個(gè)公理，把它歐幾里得公理全部保存，歐幾里得公理都保存，就把這一條平行公設(shè)改成過直線之外可以作不只一條直線，跟原來的直線相平行的話，你同樣可以推出一套數(shù)學(xué)幾何來。這套幾何本身，也是可以有它的定理，而且，看其他好像也沒有什么矛盾。那么這樣一來的話就使得歐幾里得幾何公理的體系就引起了人們的研究，就覺得歐幾里得幾何公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)，還不是很清楚。　

那么，希爾伯特他經(jīng)過了大量的研究以后，提出來一套公理化方法，他這個(gè)公理化方法，區(qū)別于歐幾里得的主要是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)就是他提出來，對公理系統(tǒng)比較要提出邏輯要求，他提出來三條第一條這個(gè)公理系統(tǒng)，必須要符合一種叫相融性，或者叫無矛盾性。這什么意思呢？就是你這個(gè)公理系統(tǒng)里面的公理，不能夠相互矛盾。你從有些公理推出來一些相互矛盾的公理，當(dāng)然從邏輯上，你這個(gè)公理系統(tǒng)就是不好的。就不行的。這是叫做相融性，或者叫做無矛盾性這是很自然的一個(gè)要求。　

另外一個(gè)要求，他提出來這個(gè)公理系統(tǒng)，必須要符合一種叫做獨(dú)立性，也就是說這個(gè)公理系統(tǒng)里面不應(yīng)該有多余的公理，什么叫多余的公理就是說像他們懷疑的說歐幾里得第五公設(shè)可以從別的公理推出來作為公理立在那兒就是多余的。所以，要把它去掉。但是后來他們發(fā)現(xiàn)證明了歐幾里得第五公里是獨(dú)立的它不能從其他公理推出來，因此它就可以作為一條公理，獨(dú)立地放在這個(gè)公理系統(tǒng)里面，所以這個(gè)公理系統(tǒng)的獨(dú)立性是他提出來的第二個(gè)要求。第三個(gè)要求就是公理系統(tǒng)不能缺少公理，少了公理，有些東西推不出來。這個(gè)叫做公理系統(tǒng)的完備性，他提出來公理系統(tǒng)的三條邏輯要求，就使得人們對公理系統(tǒng)的考察，有了邏輯根據(jù)，這個(gè)是對整個(gè)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性一個(gè)很大的貢獻(xiàn)。　

他的公理第二個(gè)推動(dòng)數(shù)學(xué)抽象化趨勢很大的特性，就是說，公理系統(tǒng)里面的對象，他研究的對象，是抽象的。不是像歐幾里得的幾何里面它這個(gè)公理系統(tǒng)的對象就是具體的點(diǎn)線面，那么他認(rèn)為，這些公理系統(tǒng)的對象，本身的內(nèi)容并不重要，重要的是這些對象，按照他的公理里刻劃的相互之間的一些關(guān)系，比如說，距離，或者是線段的大小，這樣一些東西的話，這些性質(zhì)的話，他是要用公理來刻劃的這些性質(zhì)關(guān)系是本質(zhì)性的至于說這些對象本身是點(diǎn)也好，線也好，面也好，他說過一個(gè)笑話，一次在火車上，碰到另外一個(gè)數(shù)學(xué)家，人家問他，你的公理化系統(tǒng)是什么意思？能不能簡單地給我說一下，他開了一個(gè)玩笑，他說，你可以把點(diǎn)線面，換成桌子，椅子，啤酒杯，然后它照樣符合這些公理，那么它照樣可以成為你這個(gè)公理系統(tǒng)的研究對象，這當(dāng)然是一個(gè)笑話，大家聽起來會感到荒謬，但是，我往后面講到的時(shí)候，大家會感到這樣一種思想，增加了數(shù)學(xué)的抽象性，同時(shí)也提高了它的可用性。這是希爾伯特對數(shù)學(xué)公理化方法的特點(diǎn)。　

那么這樣一個(gè)公理化的方法，跟康托集合論的觀點(diǎn)，經(jīng)過發(fā)展的集合論的觀點(diǎn)，朝向的集合論的觀點(diǎn)結(jié)合起來，就推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的抽象化趨勢，使得20世紀(jì)數(shù)學(xué)在更抽象的道路上，高度抽象的道路上發(fā)展，而且，產(chǎn)生了導(dǎo)致了四大抽象學(xué)科的誕生，這是跟過去的數(shù)學(xué)不一樣的學(xué)科。一個(gè)叫做實(shí)變函數(shù)論一個(gè)就是泛函分析，還有一個(gè)是抽象代數(shù)。第四個(gè)是拓?fù)鋵W(xué)，這樣四大抽象學(xué)科的誕生，而這四大抽象學(xué)科，所產(chǎn)生的一些概念，方法，定理它們又滲透到數(shù)學(xué)已經(jīng)有了其他的學(xué)科，像數(shù)論，是吧？實(shí)變函數(shù)論，代數(shù)，幾何，概率論，等等，微積分，很多其他的分支里面，就引起了這些分支的變革。那么這樣就形成了20世紀(jì)抽象數(shù)學(xué)一個(gè)很巨大的潮流。　

我想我們還是按照我們經(jīng)典之道的分析，跟代數(shù)還有幾何這么三個(gè)領(lǐng)域來看一看，我們比較熟悉的領(lǐng)域來看一看，20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，引起的概念上的一些變革。在分析領(lǐng)域里面，我想，20世紀(jì)開門紅的一個(gè)成果是叫做勒貝格積分。這是在1902年，當(dāng)然它完成實(shí)際上是1901年就做出來了，1902年發(fā)表的，勒貝格，法國數(shù)學(xué)家，叫勒貝格積分理論。這個(gè)積分理論引起了積分概念的變化，這種變革表現(xiàn)在什么地方？　

就是說，過去在19世紀(jì)的積分，一般我們叫做黎曼積分，這個(gè)黎曼積分，我們學(xué)過微積分的就知道，他是把數(shù)，數(shù)軸橫軸上面就是函數(shù)的X軸上面的線段，積分區(qū)間把它分成很多小的區(qū)間，N個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間取一個(gè)點(diǎn)，在

這個(gè)點(diǎn)上取函數(shù)值，這個(gè)函數(shù)值，跟區(qū)間的長度相乘，然后求它的和，然后，讓N趨向無窮的時(shí)候，你得到一個(gè)積分，定積分值，這個(gè)叫做黎曼積分，這是

這種積分就一個(gè)缺陷，就是它對一些非正常的或者我們叫怪異的一些函數(shù)，或者叫病態(tài)函數(shù)，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家把它們叫做病態(tài)函數(shù)，這個(gè)積分就沒法積，為什么？你在每一個(gè)區(qū)間上求一個(gè)點(diǎn)，求一個(gè)函數(shù)值讓它和要有極限的話這個(gè)函數(shù)不能太壞，如果這個(gè)函數(shù)在那兒蹦來蹦去的話，那你這個(gè)極限就會是不一樣的按照它的定理這個(gè)積分就不存在。　

比如說我們舉一個(gè)通常知道的病態(tài)函數(shù)。在0跟1這個(gè)區(qū)間上在所有的有理數(shù)的點(diǎn)上，這個(gè)函數(shù)等于1。在所有的無理點(diǎn)上它等于零這個(gè)函數(shù)你就不可能

去按照黎曼函數(shù)給它積分這是一個(gè)病態(tài)函數(shù)。那么這個(gè)但是這些病態(tài)函數(shù)還有很多其他的病態(tài)函數(shù)，這些病態(tài)函數(shù)在數(shù)學(xué)家看來是病態(tài)的，但是，在物理學(xué)里面，很有用。所以它們的積分是數(shù)學(xué)家們關(guān)心的怎么樣把原來的積分概念推廣，使得它能夠適用于這些病態(tài)的函數(shù)，那么，勒貝格解決了這個(gè)問題。

他的想法反過來，把這個(gè)區(qū)間劃分開，不是劃分自變量，X軸的這個(gè)線段，而是把應(yīng)變量函數(shù)值，取值的這樣一個(gè)值域，把這樣一個(gè)區(qū)間把它劃分。那么在值域上劃分的時(shí)候，大家可以想象它劃分出來在X軸上相應(yīng)的自變量點(diǎn)的分布，可能會很亂。它不是一個(gè)線段，那么這個(gè)里面，怎么樣求這樣一些集合的長度呢？勒貝格積分的推廣是以推廣長度為基礎(chǔ)的，就是說我們知道長度，我們過去都是對線段，就是一個(gè)線段，連續(xù)的線段，我們可以量它的長度，定義它的長度，那么很多線段加起來那也可以定義它的長度，現(xiàn)在，勒貝格，在勒貝格之前，法國就有一些數(shù)學(xué)家，像波萊爾，他已經(jīng)把長度的概念推廣了。滿足一定條件的集合我們可以定義它的長度，這個(gè)長度的定義是你原來的歐幾里得空間里面這樣一個(gè)線段的長度為基礎(chǔ)的。以它為基礎(chǔ)，來推廣對于某一種程度的集合，我可以定義它的長度。這個(gè)長度的概念，后來數(shù)學(xué)家們就把它叫做測度，比方我剛才說的有理點(diǎn)，在這個(gè)數(shù)軸上面是無窮多個(gè)。所以，有理點(diǎn)形成的集合它可不可以是測量它的長度？這個(gè)問題在過去的話你就沒法量，按照勒貝格之前，就波萊爾他們發(fā)展的推廣的長度的概念，就可以說，這個(gè)集合的測度，它的所謂的廣義的長度是0，而無理數(shù)的點(diǎn)也是無窮多個(gè)分布在數(shù)軸上面，在0跟1之間。比方說，無理數(shù)有好多個(gè)但是它不連續(xù)，任何一個(gè)區(qū)間里面都會有空檔，這個(gè)空檔就是有理數(shù)把它刨掉了，那么這個(gè)線段長短，按照過去經(jīng)典長度概念，也是不能測量的但是現(xiàn)在有了測度概念以后，就是廣義的長度概念以后，可以說這樣一個(gè)集合，0跟1之間的無理數(shù)的集合的長度是等于1這樣的話他把長度的概念，就利用集合論的觀念，我剛才一開始說了，集合亂的觀點(diǎn)是很重要對于抽象化。他利用集合論的觀點(diǎn)，把長度的概念，從通常的歐幾里得長度推廣到更廣泛的集合上面去。　

對于一些不連續(xù)的，很奇怪的一些看起來雜亂無章一些電視機(jī)集合可以去定義它的長度，這樣一來的話，積分的概念推廣就有了基礎(chǔ)，這樣的話，法國的數(shù)學(xué)家勒貝格就把積分的概念，給推廣了。推廣成我們現(xiàn)在叫做勒貝格積分,勒貝格積分就使得一些病態(tài)函數(shù)我們可以建立積分，而這些函數(shù)的積分我剛才講了，在物理學(xué)里邊很有用的。當(dāng)然這種推廣，我想20世紀(jì)它是一個(gè)開門紅。

那么，勒貝格積分的話，我剛才講了，包括長度概念的推廣，跟積分概念的變革。而它們的變革又引起了導(dǎo)數(shù)還有函數(shù)概念一系列的變革。所以，建立了一門新的微積分，就是在這樣勒貝格積分的基礎(chǔ)上，建立起來的微積分叫做實(shí)變函數(shù)論，在實(shí)變函數(shù)之前出現(xiàn)的分析叫做古典分析，我們習(xí)慣上就把勒貝格積分以后的分析叫做現(xiàn)代分析。那么，它引起來的一個(gè)進(jìn)一步的變革，想很重要的是函數(shù)概念的變化。　

函數(shù)經(jīng)典的定義，就是說，應(yīng)變量和自變量之間的對應(yīng)，一種對應(yīng)關(guān)系，那么現(xiàn)在我們定義函數(shù)的時(shí)候，用所謂映射，映射的觀點(diǎn)，這個(gè)映射這個(gè)觀點(diǎn)可以說是函數(shù)概念的一種推廣，這個(gè)映射就是說，對應(yīng)的關(guān)系可以不一定是數(shù),它可以是一個(gè)集合有的抽象元素的集合，到另外一個(gè)集合的元素之間的對應(yīng)關(guān)系。這一種對應(yīng)關(guān)系就是一種映射我們現(xiàn)在叫映射，這個(gè)映射，實(shí)際上是函數(shù)概念的一種推廣。它使得這種對應(yīng)關(guān)系，可以推廣到一個(gè)任意的抽象的集合上面去在代數(shù)領(lǐng)域，我想，它的變革，我想也是非常重要。而且我想這個(gè)變革也影響了整個(gè)數(shù)學(xué)的其他的分支的，這就是說我們代數(shù)學(xué)，在17世紀(jì)以前，或者說在19世紀(jì)以前，我們基本上是研究方程，解方程，或者是我們說是研究數(shù)跟數(shù)之間的運(yùn)算，運(yùn)算這種運(yùn)算它關(guān)系有什么性質(zhì)，比方滿足什么交換率，滿足結(jié)合律，分配律，我們研究這種性質(zhì)，這是初等代數(shù)�；蛘哒f19世紀(jì)以前代數(shù)的主要內(nèi)容，到了19世紀(jì)以后，由于法國數(shù)學(xué)家伽羅華，提出來群的概念，那么這個(gè)代數(shù)學(xué)就逐漸地發(fā)展，變成了討論不是數(shù)跟數(shù)之間的運(yùn)算，而是一些抽象元素之間的一些運(yùn)算的關(guān)系，而這些運(yùn)算，符合一些性質(zhì)，那么這些性質(zhì)是用公理來描寫的這樣一個(gè)研究代數(shù)的方法，我們現(xiàn)在所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)，這是現(xiàn)在數(shù)學(xué)里邊用得非常廣泛的一個(gè)研究的方法，后來這個(gè)代理結(jié)構(gòu)的研究方法，又被推到整個(gè)數(shù)學(xué)里邊，產(chǎn)生一般的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這就是法國數(shù)學(xué)家學(xué)派，一個(gè)數(shù)學(xué)家集體了，叫做布爾巴基學(xué)派，它把抽象代數(shù)里邊的這樣一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，引申到研究整個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，一般的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，他提出來，除了代數(shù)結(jié)構(gòu)以外，還應(yīng)該有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。還應(yīng)該有續(xù)結(jié)構(gòu)。　

就是發(fā)展到用一般的結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，來研究數(shù)學(xué)。　

那么這個(gè)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)研究數(shù)學(xué)我想它的本質(zhì)還在于它的公理和這個(gè)公理化方法引進(jìn)到代數(shù)里面來，引起了整個(gè)代數(shù)的面目全非。20世紀(jì)面目全非，那么這套方法，作貢獻(xiàn)最大的是布爾伯特的一個(gè)學(xué)生，一個(gè)女?dāng)?shù)學(xué)家，叫艾米諾特,可能我們聽說過，她在哥庭根領(lǐng)導(dǎo)了一個(gè)代數(shù)學(xué)派，這個(gè)代數(shù)學(xué)派對我剛才講的說代數(shù)結(jié)構(gòu)，抽象代數(shù)的發(fā)展，起了奠基性的作用。20世紀(jì)代數(shù)領(lǐng)域，它不再是研究具體的數(shù)之間的運(yùn)算，跟他們的性質(zhì)，而是研究一般的抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)什么意思？就是有一個(gè)集合這個(gè)集合里面有一些抽象的元素,這個(gè)元素里邊，定義了一種運(yùn)算這種運(yùn)算也可以類比成加法也好，類比成乘法也好，也可以定義幾個(gè)運(yùn)算，但是這些運(yùn)算之間要滿足一定的關(guān)系一定的性質(zhì)這個(gè)性質(zhì)是用公理來刻劃的用公理性質(zhì)來刻劃的，這就是我們今天研究抽象代數(shù)的一個(gè)方法，我講起來大家可能會感到抽象但是它的用處是非常的廣泛，下面我就進(jìn)入到比較容易講的幾何領(lǐng)域。　

我們來看看幾何領(lǐng)域20世紀(jì)在一些基本觀念一些概念上有什么變革，我想歐幾里得幾何的這種絕對的空間觀念，用6個(gè)字來描寫，這個(gè)可能不太恰當(dāng)，但是我想比較直觀，就是三維的，或者你在二維一維考慮的時(shí)候，那就不能超過三維，三維的平直的不能彎曲的剛性的，就是說你這個(gè)任意，你研究幾何學(xué)它的空間任意兩點(diǎn)距離你管怎么挪，它是不能動(dòng)的不能變的，不能拉長也不能縮短。那么，我想，大概歐幾里得幾何大致上可以用這6個(gè)字來說。在實(shí)際應(yīng)用，我剛才講了，非歐幾何，對歐幾里得的第五公設(shè)提出懷疑以后，提出來的非歐幾何的發(fā)展等等，已經(jīng)把歐氏集合的框框已經(jīng)開始打破了。　

可以這么說，19世紀(jì)后來幾何學(xué)的發(fā)展，都是沿著非歐化的這個(gè)路線發(fā)展的一個(gè)是把三維突破成高維N維，我們歐氏幾何一般研究現(xiàn)實(shí)空間三維，那么

在19世紀(jì)已經(jīng)突破到N維，研究高維的空間，那么，平直的這一點(diǎn)，我想狹義

的像羅巴契夫斯基幾何也好，羅巴契夫斯基幾何就是一個(gè)雙曲的一個(gè)彎曲的集合這個(gè)空間是彎曲的它不再是平直的所以，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上把這一點(diǎn)也給打破了。　

那么關(guān)于剛性，我想最簡單的例子就是攝影，攝影幾何它的發(fā)展，實(shí)際上攝影幾何兩點(diǎn)之間的距離是不再保持不變的，那么它是要變化的。但是我想對于剛性這一點(diǎn)，最大的突破，是在20世紀(jì)，我先講這個(gè)維數(shù)，在20世紀(jì)，我剛才說了19世紀(jì)幾何學(xué)從三維突破到N維，20世紀(jì)有沒有什么變化呢？20世紀(jì)我

想我們的幾何空間，已經(jīng)從兩個(gè)方向突破，一個(gè)是產(chǎn)生了無窮維的幾何這個(gè)無窮維空間，就是在剛剛說的分析的變革上引起的。就是我剛才說的函數(shù)，這個(gè)集合，實(shí)際上是一個(gè)把每一個(gè)函數(shù)看成一個(gè)點(diǎn)的話那么它是一個(gè)集合，這個(gè)集合可以看成一個(gè)空間，那么，其中有一函數(shù)的空間，它實(shí)際上是無窮維的它的維度，如果你一定要用維數(shù)的觀點(diǎn)來刻劃它的話，它是無窮維的。　

我舉一個(gè)例子，這個(gè)無窮維空間的概念，是希爾伯特剛才講的公理化方法的發(fā)明人，希爾伯特提出來的。他在研究積分方程的時(shí)候，提出來，就是由無窮多個(gè)實(shí)數(shù)組成了一個(gè)組，A1A2一直到AN，一直到無窮，這樣一個(gè)每一個(gè)AN都是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣無窮多個(gè)實(shí)數(shù)放在一起，它看成一個(gè)元素，看成一個(gè)組，一個(gè)元素，那么所有這樣的元素的集合，它在這個(gè)集合上面定義了一些運(yùn)算，定義了運(yùn)算以后，他認(rèn)為構(gòu)成一個(gè)空間，把每一個(gè)這樣的元素看成一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)空間，這個(gè)空間的維數(shù)是無窮維的所以，希爾伯特這個(gè)無窮多個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合的全體是第一個(gè)無窮維的一個(gè)空間的一個(gè)例子。那么所以后來他的學(xué)生就把這樣的空間叫做希爾伯特空間，希爾伯特空間在20世紀(jì)物理學(xué)數(shù)學(xué)里面，到處都在用。無窮維這是無窮維。　

后來，實(shí)變函數(shù)的發(fā)現(xiàn)就發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)空間，就是剛才不是講勒貝格嗎？所有的平方所有的函數(shù)如果把它平方以后，能夠求勒貝格積分的所有這樣函數(shù)的全體，跟剛才講的無窮實(shí)數(shù)組這樣一個(gè)全體的集合是等價(jià)的是可以一一對應(yīng)的。也就是說所有這樣的函數(shù)的全集，構(gòu)成的一個(gè)集合可以看成一個(gè)無窮維的空間這樣的話就把空間的概念，從有限維N維推廣到了無窮維這是一個(gè)方向。

另外一個(gè)方向突破的維度概念取得突破的是20世紀(jì)后半葉發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)維。就是說，空間的維數(shù)不盡可以是有限的維，不光三維，可以是N維，高維這在

19世紀(jì)就已經(jīng)知道了。那么到了20世紀(jì)還可以有無窮維，現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn),空間的概念還可以推廣到分?jǐn)?shù)維，關(guān)于分?jǐn)?shù)維這個(gè)空間的幾何，就叫分形幾何這完全是20世紀(jì)新建的一門幾何學(xué)。　

在20世紀(jì)，我想拓?fù)鋵W(xué)，這樣一個(gè)新的學(xué)科，就剛才我講的四大抽象學(xué)科當(dāng)中的一門，它實(shí)際上是對剛性歐幾里得集合里面空間里面剛性原則一個(gè)最大的突破，那么經(jīng)過這樣一種變革，空間，概念本身，就發(fā)生了很重要的變革。就是現(xiàn)在20世紀(jì)數(shù)學(xué)家我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)家心目當(dāng)中的空間，它是一種抽象的結(jié)構(gòu)，就是我剛才講的一種結(jié)構(gòu)，也就是說空間是一些集合，是一些元素的集合這些元素是抽象的它是什么我不管它，而這些元素之間有一些關(guān)系，這些關(guān)系是用公理來刻劃的。這些例子就說明20世紀(jì)數(shù)學(xué)抽象的趨勢，高度抽象的趨勢。　

那么數(shù)學(xué)這種抽象的性質(zhì)是跟它的另外一個(gè)特寫，所謂廣泛的使用性，多用性是緊密相聯(lián)系的。數(shù)學(xué)它正因?yàn)樗兴母叨鹊某橄笮�，所以，它才有它廣泛的實(shí)用性，數(shù)學(xué)的廣泛的用處正是從它抽象的特性來的20世紀(jì)數(shù)學(xué)高度抽象化的發(fā)展，說明了它數(shù)學(xué)這種抽象化的特征，跟它的廣泛的實(shí)用性特性之間的聯(lián)系是比以往任何時(shí)代都更加密切。更加深刻。也更加復(fù)雜。更加奇妙。那么在20世紀(jì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用跟以前的時(shí)代有什么不一樣的呢？我想主要也是表現(xiàn)在三個(gè)方面。　

第一個(gè)方面就是數(shù)學(xué)的應(yīng)用它突破了傳統(tǒng)的范圍，像人類幾乎所有的知識領(lǐng)域滲透。那我現(xiàn)在，我只要舉一下在20世紀(jì)發(fā)展起來的一些的數(shù)學(xué)應(yīng)用到其他的學(xué)科里邊產(chǎn)生的邊緣分支，我想就能說明問題，20世紀(jì)我可以列舉出來的交叉的分支有像數(shù)學(xué)物理，這是物理，數(shù)學(xué)在物理里面的應(yīng)用，還有我們有數(shù)理化學(xué)，化學(xué)里邊現(xiàn)在用的不是簡單的一元二次方程，而是很復(fù)雜的微分方程,還有很多是數(shù)學(xué)家本身都沒有辦法，感到束手無策的非線性微分方程。還有數(shù)理氣象學(xué)，現(xiàn)在的氣象預(yù)報(bào)也是建立在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上的。我想大概如果沒有數(shù)值分析的話我們現(xiàn)在不可能有這么精密的天氣預(yù)報(bào)。　

剩下來還有數(shù)理考古學(xué)，我們現(xiàn)在考古也用到很多數(shù)學(xué)。第二個(gè)特點(diǎn)我說,純粹數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用，我說這是雙向的剛才說的是數(shù)學(xué)幾乎向所有的科學(xué)技術(shù)或者人類的知識領(lǐng)域滲透，第一個(gè)方面，數(shù)學(xué)的幾乎所有的分支都參與了這種滲透至于它最抽象的部分，比如剛才說的抽象代數(shù)，我剛才就沒有能夠再深入地往下面講，抽象代數(shù)的確是非常抽象，但是它在20世紀(jì)找到了它的應(yīng)用，抽象的群論跟抽象代數(shù)在物理學(xué)里面，我在我們描寫自然界的對成現(xiàn)象里面，是有廣泛的用途的。那么，我說最抽象的領(lǐng)域除了群論，還有像數(shù)論，數(shù)論，就是研究自然數(shù)的性質(zhì)，我們的哥德赫特猜想就是這樣一個(gè)數(shù)論問題。那么這個(gè)數(shù)論有什么用呢？是不是光是自然數(shù)之間的一種游戲呢？智力難題呢？不是的。　

數(shù)論所以它在現(xiàn)代的編碼理論里面有非常重要的應(yīng)用，另外還有就是拓?fù)鋵W(xué)，就是所謂的橡皮泥集合，它是有很具體的應(yīng)用，比如在生物學(xué)里面，有我剛才沒有講的就是說，我們在50年代發(fā)現(xiàn)了生物的高分子結(jié)構(gòu)，是一種螺旋結(jié)構(gòu)，雙螺旋結(jié)構(gòu)就是它的較分子是兩個(gè)分子鏈在里面相互纏繞，這叫雙螺旋結(jié)構(gòu)，那么，從數(shù)學(xué)來講，就是兩個(gè)封閉的曲線，或者叫無窮的曲線它怎么相互傳導(dǎo)，這種正好在拓?fù)鋵W(xué)里面有個(gè)分支叫做紐結(jié)理論，就是專門來研究繩結(jié)的理論的。兩根繩子，或者幾根繩子相互纏繞，打結(jié)，那么它纏繞的情況不一樣就會影響到分子生物學(xué)的特性所以它就很重要，這個(gè)正好拓?fù)鋵W(xué)里面有一個(gè)分支叫做紐結(jié)理論就是專門研究這種東西的。那么所以，后來有一些數(shù)學(xué)家也參與了就是說，用紐結(jié)論的方法來計(jì)算高分子鏈就相當(dāng)于兩根曲線，它們相互纏繞的所謂纏繞數(shù)，這樣一些拓?fù)鋵W(xué)的指標(biāo)，那么，得到了這些數(shù)字，就可以對高分子的結(jié)構(gòu)，有一些認(rèn)識。從而也就可以對高分子的性質(zhì)有一些認(rèn)識，這就是非常抽象拓?fù)鋵W(xué)在生物學(xué)里面也是有廣泛的應(yīng)用的。　

這是就我說的純粹數(shù)學(xué)，幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用。包括一些最抽象的分支。　

第三個(gè)，就是說，20世紀(jì)數(shù)學(xué)空間廣泛應(yīng)用的特點(diǎn)就是說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)對生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用便的越來越直接，我說的是直接，我剛才講了，數(shù)學(xué)的應(yīng)用，有的時(shí)候要拐彎抹角的，是曲折的不一定說你今天發(fā)明了明天就有用，那么這種應(yīng)用呢？在20世紀(jì)，應(yīng)用的頻率跟周期是越來越短，應(yīng)該承認(rèn)這一點(diǎn)。就是說,比方說我舉幾個(gè)例子，剛才講的拉東積分它很快地就被用到了CT掃描儀里面，那么我想還有小波分析，也是近代最近多少年在調(diào)和分析基礎(chǔ)上發(fā)明起來的，它集合一發(fā)明，人們就發(fā)現(xiàn)，小波分析在通訊，還有計(jì)算機(jī)圖象壓縮，什么這些里邊有很重要的應(yīng)用，它是一種分析，數(shù)據(jù)分析，還有在石油勘探里面也有廣泛的應(yīng)用。那么，我這兒就是說幾個(gè)對比，來說明數(shù)學(xué)應(yīng)用周期的縮短，當(dāng)然這個(gè)例子大家可以舉出說，你這個(gè)可能會有很多反應(yīng)，但是我想多多少少能說明問題我說一下　

我們知道，圓錐曲線是在公元前4世紀(jì)，希臘人就已經(jīng)發(fā)明了，圓錐曲線，橢圓，雙曲線，拋物線，但是，這個(gè)圓錐曲線在2000年當(dāng)中，應(yīng)該說是沒有什么太多的用處。沒有什么太多用處的它的最重要的應(yīng)用是到了17世紀(jì)，開普勒發(fā)現(xiàn)了行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，三大定律，就發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，也就是說是橢圓曲線當(dāng)中的一種是橢圓。那么后來，牛頓從數(shù)學(xué)上證明了在這樣一個(gè)引力的定律之下，在他的牛頓三大力學(xué)的定律之下，退出來的行星的軌道，必然是一個(gè)橢圓，而且對橢圓曲線用微積分的辦法做了很多研究，所以，橢圓曲線一直到2000年以后，應(yīng)該說才知道找到了它的重要的應(yīng)用。　

那么非歐幾何是1830年左右發(fā)明的。就算用到廣義相對論里面是1915年差不多一個(gè)世紀(jì)不到。而麥克斯韋方程，我們知道是1864年發(fā)明的，1864年英國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，發(fā)現(xiàn)了描寫電磁波理論的麥克斯韋方程，根據(jù)這個(gè)方程，他預(yù)報(bào)，有一種波存在就是電磁波，電磁波當(dāng)時(shí)是不存在的不知道。那么，麥克斯韋是根據(jù)他這一套抽象的數(shù)學(xué)方程預(yù)報(bào)，預(yù)言我們自然界存在這樣一種看不見的電磁波，到了1895年，這個(gè)中間不到半個(gè)世紀(jì)就30年多一點(diǎn)吧，這個(gè)馬可尼跟波波夫，當(dāng)然他們之間有一些爭論，到底誰是發(fā)明人，但是，差不多時(shí)候吧1895年，他們發(fā)明了第一個(gè)無線電報(bào)，就是真正找到了麥克斯韋根據(jù)他的數(shù)學(xué)方程預(yù)言的這樣一個(gè)電磁波而且把它變成了無線電報(bào)，這中間是30多年。

還有剛才講的無窮維的希爾伯特空間理論，用到量子力學(xué)跟光譜理論里面,我們知道，希爾伯特空間理論是1912年提出來的，量子力學(xué)的完成是1927年，這也是很快就找到應(yīng)用這么抽象的東西，拉東積分是1913年我剛才講的用到CT掃描里面是1963年到1969年，我想，大概數(shù)學(xué)在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用，這個(gè)生產(chǎn)當(dāng)

中的應(yīng)用它會越來越直接。頻率會越來越快，這個(gè)我想是一個(gè)趨勢。還有最后一個(gè)特性，數(shù)學(xué)在向外滲透過程當(dāng)中，產(chǎn)生一些相對獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科這些學(xué)科它并不是像生物數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)物理一樣，數(shù)學(xué)光是應(yīng)用到物理里邊，光是應(yīng)用到生物里邊這種獨(dú)立的學(xué)科，比方有數(shù)理統(tǒng)計(jì)，運(yùn)籌學(xué)，控制論，可以舉出一些來，剛剛講的這三個(gè)是最重要的。那么這些學(xué)科它有自己獨(dú)立的方法，數(shù)學(xué)方法，它應(yīng)用的范圍也不光是一個(gè)學(xué)科它可以比較廣泛。　

那么這三個(gè)學(xué)科的發(fā)展我就具體不講，這個(gè)沒有時(shí)間講，我特別講講控制論，控制論是在二次大戰(zhàn)的時(shí)候，為了解決打飛機(jī)，這樣一個(gè)問題，用高射炮,或者我們今天就是導(dǎo)彈打飛機(jī)，我們知道飛機(jī)在天上飛，我們可以算它的位置,但是我算出它某一個(gè)時(shí)刻，T時(shí)刻的位置以后，比方T1時(shí)刻的位置，我地上的

炮彈或者導(dǎo)彈，我不能就打一個(gè)炮彈，打到T1這個(gè)位置，這個(gè)飛機(jī)還在往前動(dòng),所以我需要預(yù)報(bào)預(yù)測這個(gè)飛機(jī)的位置。在下幾個(gè)時(shí)刻的位置，然后使得我的炮彈調(diào)整一個(gè)發(fā)射的角度，使得我們炮彈跟飛機(jī)在某一個(gè)時(shí)刻能夠在天上同一個(gè)地點(diǎn)，同一個(gè)位置上面相遇，這樣才能打到它。這個(gè)所謂預(yù)報(bào)問題成為控制論的一個(gè)主要來源。它的主要發(fā)明人奠基人是美國數(shù)學(xué)家維納，諾伯特維納。

今天這個(gè)控制論用處就非常廣泛了，講到控制論，我想中國人也有貢獻(xiàn)的�？刂普摰膭�(chuàng)業(yè)，就是說，維納他在創(chuàng)立控制論前夕，在中國，1936年，呆過一年，在清華大學(xué)。他后來寫了一本自傳，他把他在清華大學(xué)呆的這一天，說成是對他的控制論的創(chuàng)造有非常重要作用的一年，這一年當(dāng)中，他跟很多中國數(shù)學(xué)家交談過，也跟其中一個(gè)中國的工程師，叫做李郁榮他們密切或作，后來第二次世界大戰(zhàn)以后，李郁榮因?yàn)樵谏虾Ｋ浅＠щy，抗戰(zhàn)的時(shí)候，維納又把他請到德國，在麻省理工學(xué)院做教授。他應(yīng)該說在控制論的發(fā)明當(dāng)中，也起了一些作用，我剛才講的是數(shù)學(xué)的空前的廣泛的應(yīng)用。在20世紀(jì)一個(gè)很重要的四大特點(diǎn)。